2023学年第
二
学期期
中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1．
本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．
本试卷包括试题卷和答题纸两部分
，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、
填空题
（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1.
抛物线
的焦点坐标为______.
2. 已知
，则
_______.
3. 将
化为有理数指数幂的形式为_______.
4.
已知向量
，
，若
，则实数
.
5. 设实
数
满足
，则
.
6.
有一组数
从小到大
排列为：
，
，
，
，
，
. 若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.
7.
已知集合
，且
，则实数
的值为
.
8.
在
数列
中，
，则
_______.
9.
某公司为了了解某商品的月销售量
（单位：万件）与月销售单价
（单位：元/件）之间的关系，随机统计了
个月的销售量与销售单价，
并制作了如下对照表：
月销售单价
（元/件）
10
15
20
25
30
月销售量
（万件）
11
10
8
6
5
由表中数据可得回归方程
中
，试预测当月销售单价为
元/件时，月销售量为
万件.
10.
已知双曲线
，以双曲线的右顶点
为圆心，
为半径作圆，圆
与双曲线的一条渐近线交于
两点，若
，则双曲线的离心率为_______.
11.
某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位
的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地
；
假设2：视探照灯为点
，且距离地面
米；
假设3：探照灯
照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯
以某一俯角从
侧扫描到
侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环
. 由此，通过调整
的俯角，逐次扫描形成扇环
、
、
.
第一次扫描时，光斑的长轴为
，
米，此时在探照灯
处测得点
的俯角为
（如下右图）.记
，经测量知
米，且
是公差约为
米的等差数列，则至少需要经过
次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量
、
满足：
，
，且存在实数
，使得
成立，则由
构成的空间几何体的体积是
.
二
、选择题
（本大题共有4题，满分
18
分，
第
13
～
14
题每题4分，第
15
～1
6
题每题5分
）
，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得
相应满
分，否则一律得零分.
13.
已知
，则 （ ）.
A
．
B
．
C
．
D
．
14. 已知随机变量
服从正态分布
. 若
，则
（ ）.
B．
C．
D．
15.
已知直线
与平面
，则下列命题中正确的是 （ ）.
A．若
，
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
数列
中，
是其前
项的和，若对任意正整数
，总存在正整数
，使得
，则称数列
为“某数列”. 现有如下两个命题：
①等比数列
为“某数列”；
②对任意的等差数列
，总存在两个“某数列”
和
，使得
.
则下列选项中正确的是
（ ）.
A
．
①
为真命题
，
②
为真命题
B
．
①
为真命题
，
②
为假命题
C
．
①
为假命题
，
②
为真命题
D
．
①
为假命题
，
②
为假命题
三、解答题
（本大题共有5题，满分7
8
分）
，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤
．
17．
（本题满分14分，第1小题满分
6
分，第2小题满分
8
分）
在
中，角
的对边分别为
，
已知
.
（1）求角
的大小；
（2）
若
的面积为
，求
的最小值，并判断此时
的
形状.
18．
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知点
在圆柱
的底面圆
的圆周上，
为圆
的
直径.
（1）求证：
；
（2）若
圆柱的体积为
，求异面直线
与
所成角的大
小.
19．
（本题满分1
6
分，第1小题满分
3
分，第2小题满分
6
分
，
第3小题满分7分
）
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投
次，每投进一次得2分，否则得
分. 已知甲每次投进的概率为
，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为
，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为
，若前一次没投进，则该次投进的概率为
.
求甲投篮
次得
分的概率；
若乙投篮
次得分为
,求
的分布和期望；
比较甲、乙的比赛结果.
20．
（本题满分16分，第1小题满分
3
分，第2小题满分
6
分，第3小题满分
7
分）
已知双曲线
的左、右顶点分别为
，设点
在第一象限且在双曲线上，
为坐标
原点.
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若
求
的取值范围；
（3）椭圆
的长轴长为
，且
短轴的端点
恰好是
两点
，
直线
与椭圆的另一个交点为
．记
、
的面积分别为
、
. 求
的最小值，
上海市宝山区2024届高三下学期二模试题 数学 .docx
