202
3
学年
青浦区
第二学期高三年级学业质量调研
数 学 试 卷
（时间
120
分钟
，
满分
150
分）
20
2
4.04
学生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
填空题（本大题共有1
2
题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．
不等式
的解集为
_
___________．
2．
已知向量
，
，则
_
___________．
3
．
已知
复数
，则
_
___________．
4．
的
二项展开式
中
的
常数项为
_
___________．
5．
设随机变量
服从正态分布
，若
，则实数
_
____．
6．椭圆
的离心率为
，则
_
___________．
7．已知直线
的倾斜角比直线
的倾斜角
小
，则
的斜率为
_
___________．
8．已知
，
，若
，则满足条件的
的取值范围是
_
___________．
9．
对于函数
，其中
，
若关于
的方程
有两个
不同的零点
，则实数
的取值范围是
_
___________．
10．
从
中任取
个不同的数字，设“取到的
个数字之和为偶数”为事件
，“取到的
个数字均为奇数”为事件
，则
_________．
1
1
．
如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深
，上口宽
，若以
的
速度
匀速往杯中注水，当水深为
时，酒杯中水升高的瞬时变化率
_________
12．如图，在棱长为
的正方体
中，
在棱
上，且
，
以△
为底面作一个三棱柱
，使点
分别在平面
上，则这个三棱柱的侧棱长为
_
___________．
二、选择题（本大题共有
4
题，满分
18
分，第1
3-14
每题4分，第1
5-16
每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．
函数
的最小值是
．
A
．
B
．
C
．
D
．
14．已知点
是抛物线
上一点，点
到
的
准线的距离为
，
是
轴上一点，则“点
的坐标为
”是“
”的（
）
．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件，
15
．
设
是首项为
，公比为
的等比数列
的前
项和，且
，则（
）
．
A．
B．
C．
D．
1
6
．
如图，已知直线
与
函数
的图像
相切于两点，则函数
有（
）
．
A．2个
极大值
点
，1个极小值点
B．3个极大值点
，2个极小值点
C．2个极大值点
，
无极小值点
D．3个极大值点
，
无极小值点
三．解答题
（
本大题共有5题,
满分
7
8分）
，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.
(本题满分14分
，
第
1
小题6分，第
2
小题8分
)
对于函数
，其中
，
．
（1）求函数
的
单调
增区间；
（2）在锐角三角形
中，若
，
，
求
△
的面积．
18．（
本题满分1
4
分，第1小题
6
分，第2小题
8
分
）
如图，三棱柱
是所有棱长均为
的直三棱柱，
分别
是
棱
和棱
的中点
．
（1）
求证：
平
面
平
面
；
（2）
求二面角
的余弦值大小．
19.
(
本题满分1
4
分，第
1
小题4分，第
2
小题
（
i
）
4分
，第2小题（
ii
）
6
分)
垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．
目前上海社区的垃圾分类基本采用
四类
分类法
，即
干
垃圾，
湿
垃圾，可回收垃圾与
有害
垃圾．某校为
调查
学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本
，
按照了解程度分为
A
等级和
B
等级，
得到如下列联表：
男生
女生
总计
A
等级
40
20
60
B
等级
20
20
40
总计
6
0
4
0
1
00
（1）
根据
表中的数据回答：
学生对垃圾分类的了解程度
是否
与性别
有关（规定：显著性水平
）
？
附：
，其中
，
．
（2）
为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人
A
和
B
轮流提问，先赢
局者获得
奖项
并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人
A
提问甲赢的概率为
，主持人
B
提问甲赢的概率为
，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．
现
抽签决定第一局由主持人
A
提问．
（
i
）
求比赛只进行3局就结束的概率；
（
ii
）
设
为结束比赛时甲赢的局数，求
的分布和数学期望
．
20
.(本题满分1
8
分，第
1
小题4分，第
2
小题6分，第
3
小题
8
分)
已知双曲线
，
，
分别为其左、右焦点．
（1）求
，
的坐标和双曲线
的渐近线方程；
（2）
如图，
是双曲线
右支在第一象限内一点，圆
是△
的内切圆，设圆与
，
，
分别切于点
，
，
，当圆
的面积为
时，求直线
的斜率；
（
3
）是否存在过点
的直线
与双曲线
的左右两支分别交于
，
两点，且使得
，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
21
（2）图
21
（2）图
2
1
.(本题满分1
8
分，第
1
小题4分，第
2
小题6分，第
3
小题
8
分)
若无穷数列
满足
：
存在正整数
，
使得
对一切正整数
成立
，
则称
是周期为
的周期数列．
（1）若
（其中正整数
m
为常数，
），判断数列
是否为周期数列
，
并说明理由
；
（2）若
，判断数列
是否为周期数列
，
并说明理由
；
（3）设
是无穷数列
，
已知
．求证
：“存在
，
使得
是周期数列
”的充要条件
上海市青浦区2024届高三下学期二模试题 数学.docx
