江苏南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学2023-2024学年高二3月月考试题 数学 .docx

高二数学学情检测 1 20240327 考试时间： 120 分钟；总分： 150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ， ，则下列四组向量中能使 的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( 　　 ) A. 512个 B. 192个 C 240个 D. 108个 3. 已知平面 内有一点 ，平面 的一个法向量为 ，则下列四个点中在平面 内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平行六面体 ，则下列四式中错误的是（ ） A. B C. D 5. 地图涂色是一类经典 数学问题 . 如图，用 4 种不同的颜色涂所给图形中的 4 个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种 . A. 84 B. 72 C. 48 D. 24 6. 函数 f ( x ) 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体 ABCD 中， ， ，若 ， ， ， ，则平面 ABD 与平面 CBD 的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 设 ， 分别是正方体 的棱 上的两点，且 ， ，则当 在 上沿 的方向运动时，三棱锥 的体积（ ） A. 不断变大 B. 不断变小 C. 保持不变 D. 先减小再增大 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 若 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段 . 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离 . 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 在 上，且 ；点 在 上，且 . 则下列结论正确的是（ ） A. 线段 是异面直线 与 的公垂线段 B. 异面直线 与 的距离为 C. 点 到直线 距离为 D. 点 到平面 的距离为 三、填空题（共 3 题，每题 5 分，共 15 分） 12. 在空间直角坐标系 中，若点 关于平面 对称的点为 ，则点 P 的坐标为 ________ . 13. 已知 ， ，则不同的有序集合对 有 _________ 种 . 14. 已知圆锥 （ 为圆锥顶点， 为底面圆心）的轴截面是边长为 的等边三角形， ， ， 为底面圆周上三点，空间一动点 ，满足 ，则 的最小值为 ______ ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 ． （1） 求 在 上的投影向量； （2） 若四边形 是平行四边形，求顶点 D 的坐标； （3） 若点 ，求点 P 到平面 的距离． 16. 如图，在长方体 中， ， ，点 在线段 上 . （1） 求证： ； （2） 当 是 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值 . 17. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为 “ 斜坐标系 ” ．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 60° ，我们将这种坐标系称为 “ 斜 60° 坐标系 ” ．我们类比空间直角坐标系，定义 “ 空间斜 60° 坐标系 ” 下向量的斜 60° 坐标： 分别为 “ 斜 60° 坐标系 ” 下三条数轴（ 轴、 轴 ､ 轴）正方向的单位向量，若向量 ，则 与有序实数组 相对应，称向量 的斜 60° 坐标为 ，记作 ． （1） 若 ， ，求 的斜 60° 坐标； （2） 在平行六面体 中， ， ， N 为线段 D 1 C 1 的中点．如图，以 为基底建立 “ 空间斜 60° 坐标系 ” ． ①求 的斜 60° 坐标； ②若 ，求 与 夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD ， ， . （1） 若 平面 AEF ，求 的值； （2） 在（ 1 ）的条件下，求平面 AEF 与平面 PAE 夹角的余弦值． 19. 已知函数 . （1） 若 ，且 与函数 的图象相切，求 的值； （2） 若 对 成立，求实数 的取值范围 . 高二数学学情检测 1 20240327 考试时间： 120 分钟；总分： 150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ， ，则下列四组向量中能使 的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足 ，综合可得答案． 【详解】 根据题意，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ， ， 若 ，即 ，又由 ，则有 ， 依次分析选项： 对于 A ， ， ， ，即 成立，符合题意； 对于 B ， ， ， ，即 不成立，不符合题意； 对于 C ， ， ， ，即 不成立，不符合题意； 对于 D ， ， ， ，即 不成立，不符合题意． 故选： A ． 2. 在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( 　　 ) A. 512个 B. 192个 C.