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2024年四川省成都市中考数学一轮复习 第5讲 二次函数.docx

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第5讲 二次函数 常考题型: 二次函数概念: 1.二次函数的概念 :一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是2. ⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项. 二次函数 的性质 1. 当 时,抛物线开口向上,对称轴为 ,顶点坐标为 . ① 当 时, 随 的增大而减小; ② 当 时, 随 的增大而增大; ③ 当 时, 有最小值 . 2. 当 时,抛物线开口向下,对称轴为 ,顶点坐标为 . ① 当 时, 随 的增大而增大; ② 当 时, 随 的增大而减小; ③ 当 时, 有最大值 . 二次函数 与 的比较 从解析式上看, 与 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 ,其中 . 二次函数 图象的画法 五点绘图法: 利用配方法将二次函数 化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 , (若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点. 二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: ( , , 为常数, ); 2. 顶点式: ( , , 为常数, ); 3. 两根式: ( , , 是抛物线与 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数的图象与各项系数之间的关系 : 1. 二次项系数 : 二次函数 中, 作为二次项系数,显然 . ⑴ 当 时,抛物线开口向上, 的值越大,开口越小,反之 的值越小,开口越大; ⑵ 当 时,抛物线开口向下, 的值越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大. 总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向, 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 : 在二次项系数 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下, 当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴左侧; 当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴; 当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的右侧. ⑵ 在 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴右侧;
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