第5讲 二次函数
常考题型:
二次函数概念:
1.二次函数的概念
:一般地,形如
(
是常数,
)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数
,而
可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数
的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量
的二次式,
的最高次数是2.
⑵
是常数,
是二次项系数,
是一次项系数,
是常数项.
二次函数
的性质
1.
当
时,抛物线开口向上,对称轴为
,顶点坐标为
.
①
当
时,
随
的增大而减小;
②
当
时,
随
的增大而增大;
③
当
时,
有最小值
.
2.
当
时,抛物线开口向下,对称轴为
,顶点坐标为
.
①
当
时,
随
的增大而增大;
②
当
时,
随
的增大而减小;
③
当
时,
有最大值
.
二次函数
与
的比较
从解析式上看,
与
是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
,其中
.
二次函数
图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数
化为顶点式
,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
,
(若与
轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与
轴的交点,与
轴的交点.
二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:
(
,
,
为常数,
);
2. 顶点式:
(
,
,
为常数,
);
3. 两根式:
(
,
,
是抛物线与
轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与
轴有交点,即
时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数的图象与各项系数之间的关系
:
1.
二次项系数
:
二次函数
中,
作为二次项系数,显然
.
⑴ 当
时,抛物线开口向上,
的值越大,开口越小,反之
的值越小,开口越大;
⑵ 当
时,抛物线开口向下,
的值越小,开口越小,反之
的值越大,开口越大.
总结起来,
决定了抛物线开口的大小和方向,
的正负决定开口方向,
的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
:
在二次项系数
确定的前提下,
决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在
的前提下,
当
时,
,即抛物线的对称轴在
轴左侧;
当
时,
,即抛物线的对称轴就是
轴;
当
时,
,即抛物线对称轴在
轴的右侧.
⑵ 在
的前提下,结论刚好与上述相反,即
当
时,
,即抛物线的对称轴在
轴右侧;
2024年四川省成都市中考数学一轮复习 第5讲 二次函数.docx