辽宁大连市第二十四中学、大连育明高级中学、大连八中2024届高三下学期3月三校联考试题 数学(含参考答案)

{#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#} {#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#} {#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#} {#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#} 三校联考 数学 参考答案 第1页（共 4页） 2024 年三校联考数学试卷参考答案及评分标准 1-4.ADCD 5 -8.BBCA 9.ABD 10. BCD 11. BD 12. 13. 14. 15 .（ 13 分 ） 【解析】（ 1）由余弦定理可知 ， 解得 . …… 3分 设 点 到边 的距离为 ，由三角形面积公式得 ， 解得 . …… 6分 （ 2）设 ，则 ， 由余弦定理可知 ， 故 ， 故当 时， 取得最小值 . …… 9分 此时 ， 是等边三角形， ， . …… 10 分 设 外接圆半径为 ， 由正弦定理得 ， 解得 ，故 外接圆 面积为 . …… 13 分 16 .（ 15分） 【解析】 （ 1）设点 为 的中心，连接 ，连接 并延长交 于点 ， 则 ， 平面 . 因为 平面 ， 所以 ， …… 2分 又因为 ， 所以 平面 . …… 4分 因为 平面 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，且 ， 所以四边形 是矩形， …… 6分 因为 ，所以四边形 是正方形 . …… 7分 {#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#}7 2 6+ 3 2 )1,4 1( )4 1 ,1 (  − − A BC AB AC AB BC    − + = cos 2 2 2 2 7 = BC A BC d d BC A AC AB  =    2 1 sin 2 1 7 21 3=d x PB = x AP − =3 A BC AP AC AP PC    − + = cos 2 2 2 2 5 )1 (2 2 1 2 ) 3( 2 4 ) 3( 2 2 2 2 2 + − =   −  − + − + = + x x x x PC PB 1= =x PB 2 2 PC PB + AC AP = =2 APC △ 3 = APC 3 2 = BPC PBC △ R R BPC BC 2 sin =  3 21 =R PBC △ 3 7 2  = R O ABC △ OA1 AO BC E BC AE ⊥ ⊥ OA1 ABC  BC ABC BC OA ⊥ 1 O AE OA =  1 ⊥ BC AEA1 1 AA AEA1 1 AA BC ⊥ 1 1 1 CC BB AA ∥ ∥ 1 BB BC ⊥ 1 CC BC ⊥ 11B BCC 1 BB BC = 11B BCC 三校联考 数学 参考答案 第2页（共 4页） （ 2）在线段 上 取点 ，使得 ，连接 ，则 两两垂直，分别 以 的方向为 轴， 轴和 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 则 ， ， ， 所以 ， ， 由（ 1）知， 平面 ，则平面 的一个法向量不妨取 ， 设 平面 的法向量分别为 ，则 ， …… 11 分 取 ，则 ， …… 13 分 所以 ，故二面角 的正弦值为 . …… 15 分 17 .（ 15分） 【解析】 （ 1）设事件 表示共有 次投中，事件 表示第二次没投中， …… 2分 …… 4分 所以 …… 6分 {#{QQABAYaAogCoAJBAAAgCAQXyCAMQkBCCAAoOwEAEoAAAiAFABAA=}#}AB F 2 AF FB = OF 1 ,, OF OE OA 1 ,, OF OE OA x y z ( )6 ,0,01A ) 2 6 ,3 ,2 3 (− D )0, 2 3 ,0(E 1 36( , 3, )22 DA =− 3 3 6( , , )2 2 2 DE = − − BC ⊥ 1 AEA 1 AEA m ( )0,0,1 = EDA1 n ( , , )x y z = 36 30 22 3 3 6 0 2 2 2 x y z x y z  − + =   − − =  1 y= n ) 4 2 ,1, 2 3 (= cos n m n m n m   = , 5 10 = D EA A − − 1 5 15 nA )4,3,2,1,0 ( =nn B 2 23 2 1 1 1 3 ( ) C 2 2 2 16 P BA =    = 2 24 22 1 1 3 ( ) C 2 2 8 PA =   = 2 2 2 3 () 1 16 () 3 ( ) 2 8 P BA P B A PA = = = 三校联考 数学 参考答案 第3页（共 4页） （ 2）设至少投 次 ，其中投中的次数 ， 若 ≤ ≥ ，即 ≤ ≥ ， …… 8分 由已知条件可知 ≤ ≥ ， …… 12 分 又因为 ， 所以 ≥ ， ≥ ， …… 14 分 所以至少要投 次才能保证投中的频率在 0.4 到 0.6 之间的概率不低于 90% . …… 15分 18 .（ 17分） 【解析】 （ 1）根据题意可知 ， .设 的半焦距为 ，则 ，则 .