安徽六安第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学 (含参考解析)

六安一中 2023 年春学期高一年级期末考试 数学试卷 满分： 150 分 时间： 120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据题意，化简得到 ，结合复数的概念，即可求解 . 【详解】 由复数 满足 ，可得 ， 所以复数 z 的虚部为 . 故选： B. 2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可 . 【详解】 ， ，解得： . 故选： B 3. 某地一年之内 12 个月的降水量从小到大分别为： 46 ， 48 ， 51 ， 53 ， 53 ， 56 ， 56 ， 56 ， 58 ， 64 ， 66 ， 71 ，则该地区的月降水量 75% 分位数为（　　） A. 58 B. 60 C. 61 D. 62 【答案】 C 【解析】 【分析】 由百分位数定义可得答案 . 【详解】 注意到 ，则该地区的月降水量 75% 分位数为第 9 ，第 10 个数据的平均数，为 . 故选： C 4. 下列结论中正确是（ ） A. 若直线 a ， b 为异面直线，则过直线 a 与直线 b 平行的平面有无数多个 B. 若直线 m 与平面 α 内无数条直线平行，则直线 m 与平面 α 平行 C. 若平面 α ∥平面 β ，直线 a ⊂ α ，点 M ∈ β ，则过点 M 有且只有一条直线与 a 平行 D. 若直线 l 平面 α ， 则过直线 l 与平面 α 垂直的平面有且只有一个 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据直线与平面的有关性质逐项分析 . 【详解】 对于 A ，过 a 作直线 ，使得 ，则 是唯一的，因为 a 与 b 是异面直线，所以 a 与 相交，则由 确定的平面是唯一的，错误； 对于 B ，可能有 ，错误； 对于 C ， ，若过点 M 在 平面内有两条直线 ，分别平行于 a ，则由于平行线的传递性，必有 ， 又 与 有公共点 M ，则 重合 ，故过 M 点只有唯一的一条直线与 a 平行，正确； 对于 D ，显然过 l 的平面有无数个，并且每个平面都与 垂直，错误； 故选： C. 5. 在正四棱台 中， ， ，则该四棱台的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 作出截面，过点 作 ，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可 . 【详解】 过 作出截面如图所示，过点 作 ，垂足为 ， 因为正四棱台 中， ， 所以 ， ， ，即梯形 为等腰梯形， 所以 ， ， 所以，该四棱台的体积为 故选： D. 6. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 且 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 分别取 的中点 ，连接 ，则可证明 为异面直线 SC 与 DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出 ， 和 的长度，利用余弦定理计算得到答案 . 【详解】 如图所示： 分别取 的中点 ，连接 . 由 且 可得 是等边三角形， 则 且 ， 且 ，故 且 ， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 因为 ，所以 为异面直线 SC 与 DE 所成的角（或其补角）， 因为 平面 ， 平面 ，∴ ， ， 故 和 均为直角三角形， 所以 ， ， ， 由余弦定理得 . 则异面直线 与 所成的角的余弦值为 . 故选： B 7. 在 6 月 6 日第 27 个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统 2022 年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约 40% 的人近视，而该校大约有 30% 的学生每天玩手机超过 2h ，这些人的近视率约为 50% ．现从每天玩手机不超过 2h 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 设该校有 a 名学生，根据已知条件，求出每天玩手机不超过 2h 的学生人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率能求出结果 . 【详解】 设该校有 a 名同学，则约有 0.4 a 的学生近视，约有 0.3 a 的学生每天玩手机超过 2h ，且每天玩手机超过 2h 的学生中的学生中近视的学生人数为： 0.3 a × 0.5=0.15 a ， 所以有 0.7 a 的学生每天玩手机不超过 2h ，且其中有 0.4 a — 0.15 a =0.25 a 的学生近视， 所以从每天玩手机不超过 2h 的学生中任意调查一名学生， 则他近视的概率为 ， 故选 : B 8. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD ， ABEF 的边长都是 2 ，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 M ， N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且 CM 和 BN 的长度保持相等，记 ，其中 ．则 MN 的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据面面垂直性质可证得 平面 ，则以 为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出 ；将 整理为 ，由二次函数最值可得结果 . 【详解】 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 则以 为坐标原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ； 则 ， 当 时， 最小，最小值