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2024届高考二轮复习数学试题(新高考新教材) 专题突破练12 求数列的通项及前n项和 .docx

同步检测 全国通用 2024年 格式: DOCX   5页   下载:0   时间:2024-03-23   浏览:28886   免费试卷
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专题突破练 12   求数列的通项及前 n 项和 1 . 已知等比数列 { a n } 的各项均为正数 , 且 2 a 1 + 3 a 2 = 1, = 9 a 2 a 6 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = log 3 a 1 + log 3 a 2 + … + log 3 a n , 求数列 的前 n 项和 T n . 2 . 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a 3 = 8, S 5 = 2 a 7 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若数列 { b n } 满足 b n =a n cos n π + 2 n+ 1 , 求数列 { b n } 的前 2 n 项和 T 2 n . 3 . 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 5 = 25, 且 a 3 - 1, a 4 + 1, a 7 + 3 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 b n = ( - 1) n a n + 1, T n 是数列 { b n } 的前 n 项和 , 求 T 2 n . 4 . 已知数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列 , 且 a 2 = 3, a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 S n 为数列 { a n + 2} 的前 n 项和 , b n = , 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 5 . 已知等差数列 { a n } 与正项等比数列 { b n } 满足 a 1 =b 1 = 3, 且 b 3 -a 3 ,20, a 5 +b 2 既是等差数列 , 又是等比数列 . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 在以下三个条件中任选一个 , 补充在下面问题中 , 并完成求解 . ① c n = + ( - 1) n b n , ② c n =a n · b n , ③ c n = . 若       , 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n .   6 . 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a n+ 1 = 2 S n + 2, 数列 { b n } 满足 b 1 = 2,( n+ 2) b n =nb n+ 1 . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 在 a n 与 a n+ 1 之间插入 n 个数 , 使这 n+ 2 个数组成一个公差为 c n 的等差数列 , 求数列 { b n c n } 的前 n 项和 T n . 7 . 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 1, a n+ 1 = 3 a n + 3 n+ 1 . (1) 求证 : 数列 是等差数列 ; (2) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (3) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : . 专题突破练 12   求数列的通项及前 n 项和 1 . 解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ( q> 0), 由 = 9 a 2 a 6 , 得 = 9 , 所以 q 2 = , 所以 q= . 由 2 a 1 + 3 a 2 = 1, 得 2 a 1 + 3 a 1 · = 1, 所以 a 1 = . 故数列 { a n } 的通项公式为 a n = . (2) 因为 b n = log 3 a 1 + log 3 a 2 + … + log 3 a n =- (1 + 2 + … +n ) =- , 所以 =- =- 2 . 所以 T n = + … + =- 2 + … + =- . 所以数列 的前 n 项和 T n =- . 2 . 解 (1) 设 { a n } 的公差为 d , 依题意 , 解得 所以 a n = 2 + 3( n- 1) = 3 n- 1 . (2) 因为 b n =a n cos n π + 2 n+ 1 = ( - 1) n a n + 2 n+ 1 = ( - 1) n · (3 n- 1) + 2 n+ 1 , 所以 T 2 n = ( a 2 -a 1 ) + ( a 4 -a 3 ) + … + ( a 2 n -a 2 n- 1 ) + (2 2 + 2 3 + … + 2 2 n+ 1 ) = 3 n+ = 3 n+ 2 2 n+ 2 - 4 . 3 . 解 (1) 由题意可知 S 5 = = 5 a 3 = 25, 所以 a 3 = 5 . 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 由 a 3 - 1, a 4 + 1, a 7 + 3 成等比数列 , 可得 (6 +d ) 2 = 4(8 + 4 d ), 整理得 d 2 - 4 d+ 4 = 0, 解得 d= 2 . 所以 a n =a 3 + ( n- 3) d= 2 n- 1 . (2) 因为 b n = ( - 1) n a n + 1 = ( - 1) n (2 n- 1) + 1, 所以 T 2 n = ( - 1 + 1) + (3 + 1) + ( - 5 + 1) + (7 + 1) + … + [ - (4 n- 3) + 1] + (4 n- 1 + 1) = 4 n. 4 . 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠0), 则由题意 , 可知 解得 ∴ a n = 1 + 2( n- 1) = 2 n- 1 . (2) 由 (1) 得 a n + 2 = 2 n+ 1, ∴ S n = ( a 1 + 2) + ( a 2 + 2) + ( a 3 + 2) + … + ( a n- 1 + 2) + ( a n + 2) = 3 + 5 + 7 + … + (2 n- 1) + (2 n+ 1) = =n 2 + 2 n. ∴ b n = . ∴ T n =b 1 +b 2 +b 3 + … +b n- 1 +b n = + … + + = . 5 . 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 等比数列 { b n } 的公比为 q ( q> 0), 由已知得 20 =b 3 -a 3 =a 5 +b 2 , 即 20 = 3 q 2 - (3 + 2 d ),20 = (3 + 4 d ) + 3 q , 解得 d= 2, q= 3, 所以 a n = 2 n+ 1, b n = 3 n . (2) 若选择 ① , 则 c n = + ( - 1) n b n = + ( - 3) n = + ( - 3) n , 所以 S n =c 1 +c 2 + … +c n = + ( - 3) 1 + + ( - 3) 2 + … + + ( - 3) n = . 若选择 ② , 则 c n =a n ·b n = (2 n+ 1)3 n , 所以 S n =c 1 +c 2 + … +c n = 3 × 3 + 5 × 3 2 + … + (2 n+ 1)3 n , 3 S n = 3 × 3 2 + 5 × 3 3 + … + (2 n+ 1)3 n+ 1 , 两式相减得 - 2 S n = 3 2 + 2 × 3 2 + 2 × 3 3 + … + 2 × 3 n - (2 n+ 1)3 n+ 1 =- 2 n· 3 n+ 1 , 所以 S n =n· 3 n+ 1 . 若选择 ③ , 则 c n = , 所以 S n =c 1 +c 2 + … +c n = + + … + . 6 . 解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q , 由 a n+ 1 = 2 S n + 2, 可得 a n = 2 S n- 1 + 2( n ≥2), 两式相减得 a n+ 1 -a n = 2 S n - 2 S n- 1 = 2 a n , 整理得 a n+ 1 = 3 a n , 可知 q= 3 . 令 n= 1, 则 a 2 = 2 a 1 + 2, 即 3 a 1 = 2 a 1 + 2, 解得 a 1 = 2 . 故 a n = 2
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