浙江宁波市镇海中学2022-2023学年高三下学期4月统一测试数学试题(含参考答案)

2022 学年第二学期普通高中高三 4 月统一测试 数学试题 第 Ⅰ 卷 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 是互相垂直的单位向量，若 ，则 （ ） A.-2 B.-1 C.0 D.2 3. 已知 是定义在上 的函数，那么 “ 函数 在 上单调递增 ” 是 “ 函数 在 上的最大值为 ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 均为锐角，且 ，则 的最大值是（ ） A.4 B. C.2 D. 5. 如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振 . 右 图 是根据 左图 绘制的古筝弦及其弦码简易直观图 . 在直观图中，每根弦都垂直于 x 轴，左边第一根弦在 y 轴上，相邻两根弦间的距离为 1 ，弦码所在的曲线 （ 又称为雁柱曲线 ） 方程为 y = 1.1 x ，第 n （ n ∈ N ，第 0 根弦表示与 y 轴重合的弦 ） 根弦分别与雁柱曲线和直线 l ： y = x + 1 交于点 A n （ x n ， y n ） 和 B n （ x ' n ， y ' n ） ，则 （ ）参考数据： 1.1 22 = 8.14 A.814 B.900 C.914 D.1000 6. 数列 满足 ，且其前 项和为 . 若 ，则正整数 （ ） A.99 B.103 C.107 D.198 7. 已知函数 ，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点 ，动点 在圆 上， 的垂直平分线交直线 于 点，若动点 的轨迹是双曲线，则 的值可以是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 二 ､多选题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若复数 满足 ，则 ； B. 若复数 满足 ，则 ； C. 若复数 满足 ，则 ； D. 若复数 ，则 . 10. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则 的值可能为（ ） A. B.1 C.2 D.3 11. 在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ，则（ ） A. 当 时， 的周长为定值 B. 当 时，三棱锥 的体积为定值 C. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 D. 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 12. 已知函数 ，方程 有两个不等实根，则下列选项正确的 是（ ） A. 点 是函数 的零点 B. ，使 C. 是 的极大值点 D. 的取值范围是 第 Ⅱ 卷 三 ､填空题 ：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 设函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，若 ，则 __________. 14. 已知 ，若 ，使得 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 __________. 15. 已知椭圆 ，若 上任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围为 __________. 16. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题 . 牛顿（ 1643-1727 ）给出了牛顿法 —— 用 “ 作切线 ” 的方法求方程的近似解如图，方程 的根就是函数 的零点 r ，取初始值 处的切线与 x 轴的交点为 在 处的切线与 x 轴的交点为 ，一直这样下去，得到 ，它们越来越接近 r . 若 ，则用牛顿法得到的 r 的近似值 约为 ___________ （结果保留两位小数） . 四 ､解 答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . 17. （本题满分 10 分） 已知函数 的最小正周期为 8 . （ 1 ） 求 的值及函数 的单调减区间； （ 2 ） 若 ，且 ，求 的值 . 18. （本题满分 1 2 分） 已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列 . 给定 ，记集合 的元素个数为 . （ 1 ） 求 ， 的值； （ 2 ） 求最小自然数 n 的值，使得 . 19. （本题满分 1 2 分） 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的六面体中（其中 平面 EDC ），四边形 ABCD 是正方形， 平面 ABCD ， ，且平面 平面 . （ 1 ） 设 为棱 的中点，证明： 四点共面； （ 2 ） 若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值 . 20. （本题满分 1 2 分） 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内 . 如图所示的小木块中，上面 7 层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与 第 2 层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过 7 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1 ， 2… ， 6 的球槽内 . 例如小球要掉入 3 号球槽，则在前 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚到第 7 层的第 3 个空隙处，再以 的概率向右滚下，或在前 6 次碰撞中有 3 次向右 3 次向左滚到第 7 层的第 4 个空隙处，再以 的概率向左滚下 . （ 1 ）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第 7 层第 6