黑龙江大庆市实验中学实验二部2024届高三下学期5月月考试题 数学(含参考答案)

黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期 阶段考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱柱 中， E，F，G，H 分别为 的中点，则下列说法错误的是（ ） A． E，F，G，H 四点共面 B． C． 三线共点 D． 3．二项式 的二项式系数和为256，将其展开式中所有项重新排成一列，有理项不相邻的排法种数为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 的部分图象如图所示， ，则 （ ） A．4 B． C． D． 5．设 ，将 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，设 ， ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线 与曲线 有三个交点 D、E、F ，且 ，则以下能作为直线 的方向向量的坐标是（ ）． A． B． C． D． 7．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 8．设无穷等差数列 的公差为 ，集合 ．则（ ） A．当且仅当 时， 只有1个元素 B．当 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为 C．当 时， 可能有4个子集 D．当 时， 最多有 个元素，且这 个元素的和可能不为0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的存（ ） A． 服从 ，若 ，则 ； B． ，则 与 互斥 C．已知 ，若 A，B 互斥，则 D． 可能成立 10．如图，平面 为线段 AB 的中点，直线 MN 与平面 的所成角大小为 ，点 为平面 内的动点，则（ ） A．以 为球心，半径为2的球面在平两 上的截痕长为 B．若 到点 和点 的距离相等，则点 的轨迹是一条直线 C．若 到直线 MN 的距离为1，则 的最大值为 D．满足 的点 的轨迹是椭圆 11．在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为 ．其中圆 与圆 的公切线相交于点 ，圆 与圆 的公切线相交于点 ，圆 与圆 的公切线相交于点 表示直线 AB 的斜率， 表示直线 AC 的斜率， 表示直线 BC 的斜率．下列说法正确的是（ ） A．存在 ，使得 B．对任意 ，使得 C．存在点 到三个圆的公切线长相等 D．直线 上存在到 与 的切线长不相等的点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设全集 ，集合 ，则 ______. 13．已知曲线 与曲线 恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为______. 14．若实数 a，b 分别是方程 的根，则 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为 BC 中点，点 在棱 PB 上（不包括端点） （1）证明：平面 平面 PAD ； （2）若点 F 为 PB 的中点，求直线 EF 到平面 PCD 的距离. 16．（15分）如图，正方形 ABCD 的边长为1， P，Q 分别为边 BC，CD 上的点，且 ； （1）求 的大小； （2）求 面积的最小值； 17．（15分）设点 是抛物线外一点，过点 向拋物线 引两条切线 TM，TN ，切点分别为 M，N ，焦点 ， （1）若点 的坐标为 ，证明：以 TM 为直径的圆过焦点； （2）若点 的坐标为 ，证明： ． 18．（17分）在平面直角坐标系 xOy 中有一个点阵，点阵中所有点的集合为 ，从集全 中任取两个不同的点，用随机变量 表示它们之问的距离． （1）当 时，求 的分布列及期望． （2）对给定的正整数 ． （ⅰ）求随机变量 的所有可能取值的个数：（用含有 的式子表示） （ⅱ）求概率 ．（用含有 的式子表示） 19．（17分）（1）若 求 的取值范围； （2）证明： （3）估计 的值．（保留小数点后3位） 己知 ， 大庆实验中学2024年高三下学期阶段考试 数学参考答案 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C B B C C C ACD BC BC 二、 12． 13． 14．2 三、解答题 15．（1）证明：连接 AC ，如图所示， 平面 ， ， ，即 ， 又 为 BC 中点，则 ，且 ， 四边形 AECD 为正方形， ， 平面 平面 ， 又 平面 平面 PAD ， 又 平面 平面 平面PAD. （2） 在 中， E，F 分别为 BC，PB 中点， ， 又 平面 平面 平面 PCD ， 点 到平面 PCD 的距离即为 EF 到平面 PCD 的距离， （方法一） ， 以 为原点 ，AE，AD，AP 所在直线分别为 轴， 轴， 轴， 建立如图所示空间直角坐标系 ，如图所示， 则 ， 设 是平面 PCD 的法向量， 取 ，则 是平面 PCD 的一个法向量， 点 到平面 PCD 的距离为 ， 即直线 EF 到平面 PCD 的距离为 ． （方法二） 连接 ED、PE ，如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又 平面 是三棱锥 的高， ， ， ， ， 设 到平面 PCD 距离为 ，则 ， ， 即 EF 到平面 PCD 的距离为 ． 16．（1）记 ，则 ． （1）解法一： ， 正方形 的边长为 ， 在Rt 中， ，由 ， 则 ， ． 解法二： ． 设 ，则 ． 在Rt 中， ，即 ， . ， ． 当 时， 面积的最小值为 ． 17．证明：首先获得抛物线外一点 做此抛物线的切点弦所在直线方程为 （1）若点 的坐标为 ，