202
3
学年第
二
学期质量监控
高三数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
（
答案
请写在答题纸上）
一、填空题
（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1
．
已知集合
，
，则
___________．
2
．
已知向量
，
，若
，则实数
的值为___________．
3
．
函数
的定义域是___________．
4
．
已知复数
满足
，则
的模为___________．
5
．
设
公比为
2
的等比数列
的前
项和为
，若
，则
___________．
6
．若
长方体
的体积是
，
为
棱
的中点，则三棱锥
的体积是___________．
7
．
设
(
)
，若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为___________．
8
．
已知双曲线
(
，
)，给定的四点
、
、
、
中恰有三个点在双曲线
上，则该双曲线
的离心率是___________．
9
．
为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如右图所示列联表：
取显著性水平
，
若本次考察
结果支持“药物对疾病预防有显著效果”
，则
(
40
，
)的最小值为___________．
（第
9
题图）
（第
9
题图）
(
参考公式：
；
参考值：
）
10
．在
的展开式中，记
项的系数为
，则
___________．
（第11题图）
（第11题图）
11
．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段
、
是救生栈道的一部分，其中
，
，
在
的北偏东
方向，
在
的正北方向，
在
的北偏西
方向，
且
．
若救生艇在
处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道
，则最短距离为
___________m．(
结果精确到1
m)
12
．已知平面向量
、
、
满足：
，
，则
的最小值为
___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13
-
14题每题4分，第15
-
16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13
．
若抛物线
的焦点是椭圆
的一个
顶点
，则
的值为
( )．
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 8
14
．
下列说法不正确的是( )．
(A) 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
(B) 若随机变量
服从正态分布
，且
，则
(C) 若线性相关系数
越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
(D) 对具有线性相关关系的变量
、
，且回归方程为
，若样本点的中心为
，则实数
的值是
15
．
如图，点
为正方形
的中心，
△
为正三角形，平面
⊥
平面
，
是线段
的中点，则以下命题中正确的是( )．
(A)
(B)
（第
15
题图）
（第
15
题图）
(C)
、
、
三点共线
(D) 直线
与
相交
16
．
设
，有如下两个命题：
①
函数
的图像与圆
有且只有两个公共点；
②
存在唯一的正方形
，其四个顶点都在函数
的图像上．
则下列说法正确的是( )．
(A)
①
正确，
②
正确 (B)
①
正确，
②
不正确
(C)
①
不正确，
②
正确 (D)
①
不正确，
②
不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸
的
相应
位置
写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数
，记
，
，
，
．
（1）若函数
的最小正周期为
，当
时，求
和
的值；
（2）若
，
，函数
有零点，求实数
的取值范围
．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形
（及其内部）以
边所在直线为旋转轴旋转
得到的，点
是
的中点，点
在
上，异面直线
与
所成的角是
．
（1）求证：
；
（第18题图）
（第18题图）
（2）
若
，
，求二面角
的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分
5
分，第2小题满分
9
分）
有标号依次为1，2，
…
，
(
，
)的
个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，
…
，依次进行到从
号盒子里取出2个球放入
号盒子为止．
（1）
当
时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）设
号盒子中红球个数为随机变量
，求
的分布及
，并猜想
的
值
（无需证明此猜想）
．
20
．
（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知
椭圆
的右焦点为
，直线
与椭圆
交于不同的两点
、
．
（1）
证明：点
到右焦点
的距离为
；
（2）设点
，
当直线
的斜率为
，且
与
平行
时，求直线
的方程；
（3）
当直线
与
轴不垂直，且
△
的周长为
时，试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论．
21
．
（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数
与
有相同的定义域
．若存在常数
(
)，使得对于任意的
，都存在
，满足
，则称函数
是函数
关于
的
“
函数
”
．
（1）
若
，
，试判断函数
是否是
关于
的
“
函数
”
，并说明理由；
（2）
若函数
与
均存在最大值与最小值，且函数
是
关于
的
“
函数
”
，
又是
关于
的
“
函数
”
，证明：
；
（3）
已知
，
，其定义域均为
．给定
上海市金山区2024届高三下学期二模试题 数学.docx
