福建福州市八县（市）一中2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题.docx

2023~2024学年度第一学期八县（市）一中期末联考 高中二年数学科试卷 考试日期：1月31日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.在正项等比数列 中， ，则数列 的公比为（ ） A. B.4 C. D.2 2.抛物线 的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3.已知两条直线 ， 的斜率分别为 ， ，倾斜角 分别为 ， .若 ，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4.直线 过定点 ，若 为圆 上任意一点，则 的最大值为（ ） A. 1 B.3 C.4 D.2 5.在等差数列 中，若 ， ，则 （ ） A. 100 B.120 C.57 D.18 6.在平面直角坐标系 中，设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，其中 ，且双曲线渐近线的斜率绝对值小于 ，则下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 7.已知首项为1的数列 ，且 对任意正整数 恒成立，则数列 的前 项和 为（ ） A. B. C. D. 8.已知长方体 ， ， ， 是 的中点，点 满足 ，其中 ， ，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成的轨迹长度是（ ） A. 3 B. C. D.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.若方程 所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A.若 ，则 为椭圆 B.若 为椭圆，且焦点在 轴上，则 C.曲线 可能是圆 D.若 为双曲线，则 10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.比如取正整数 ，根据上述运算法则得出 .猜想的递推关系如下：已知数列 满足 ， ， 设数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11.设等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 12.已知抛物线 与圆 交于 ， 两点，且 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于 ， 两点，则下列说法中正确的是（ ） A.若直线 的斜率为 ，则 B. 的最小值为9 C.若以 为直径的圆与 轴的公共点为 ，则点 的横坐标为1 D.若点 ，则 的周长最小值为 第II卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式 ______. 14.已知双曲线方程为： ，若直线 与双曲线左右两支各交一点，则实数 的取值范围为______. 15.如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 是边长为6的正方形，且四棱锥 的外接球的表面积为 ，点 在线段 上，且 ， 为线段 的中点，则点 到直线 上任意点的距离的最小值为______. 16.瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形 （图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 （图2），如此继续下去形成雪花曲线 （图3），直到无穷，形成雪花曲线 ， ， … ， ， …. 设雪花曲线 的边数为 ，面积为 ，若正三角形 的边长为1，则 ______； ______. 图1 图2 图3 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分） 17.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ； （1）求等差数列 的前 项和 及 的最大值； （2）求数列 的前16项和 . 18.（12分）已知圆 ，直线 过点 . （1）若直线 与圆 相交，求直线 的斜率 的取值范围； （2）以线段 为直径的圆 与圆 相交于 、 两点，求直线 的方程及 的面积。 19.已知标准双曲线 的焦点在 轴上，且虚轴长 ，过双曲线 的右焦点 且垂直 轴的直线 交双曲线 于 、 两点， 的面积为 . （1）求双曲线 的标准方程； （2）过点 的直线 交双曲线 于 、 两点，且点 是线段 的中点，求直线 的方程. 20.在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 底面 ， ， .且 ， 分别为 ， 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 21.已知数列 的首项 ，且满足 . （1）判断数列 是否为等比数列； （2）若 ，记数列 的前 项和为 ，求 . 22.已知点 ， 是圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线交 于点 ，设动点 的轨迹曲线为 ； （1）求曲线 的方程； （2）过点 作斜率不为0的直线 交曲线 于 、 两点，交直线 于 .过点 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于 点，直线 交 轴于 点，求线段 中点 的坐标.