江西省重点中学协作体2024届高三第二次联考数学试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.若复数
的共轭复数
满足
,则
在复平面内对应的点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3.酒驾最新标准规定:
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车,达到
及以上认定为醉酒驾车.如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为
,从此刻起停止饮酒,血液中酒精含量会以每小时
的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?(参考数据:
)
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
4.若
,则
( )
A.
B.1
C.
D.
5.已知递减的等差数列
的前
项和为
,若
是
与
的等比中项,则
( )
A.51
B.48
C.36
D.33
6.已知实数
满足
,则
的最小值为( )
A.
B.2
C.
D.4
7.已知定义域为
的函数
满足:
,
,且
,则下列说法不正确的是( )
A.
B.
是奇函数
C.若
,则
D.
是奇函数
8.我国南北朝时期的著名数学家祖
暅
原提出了祖明原理:
“
具势既同,则积不容异.
”
意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.因此运用祖
暅
原理计算球的体积时,我们可以构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②,用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即
,则
.现将双曲线
与直线
围成的图形绕
轴旋转一周后得一个旋转体
,类比上述方法,运用祖
暅
原理可求得其体积等于( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分.若只有2个正确选项,每选对一个得3分;若只有3个正确选项,每选对一个得2分.
9.下列命题正确的是( )
A.已知由一组样本数据
,得到的回归直线方程为
,且
,则这组样本数据中一定有
B.某学校高三年级学生有男生500人,女生400人,为了获得该校高三全体学生的身高信息,现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本,经计算得男生样本的均值为170,方差为19,女生样本的均值为161,方差为28,则抽取的样本的方差为43
C.已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,则剩下28个数据的
分位数可能等于原样本数据的
分位数
D.若随机变量
,且
,则
10.已知数列
的前
项和为
,则下列选项正确的是( )
A.
B.数列
是公比为2的等比数列
C.
D.
的最大整数
的值为8
11.已知正方体
边长为2,动点
满足
,则下列说法正确的是( )
A.当
时,则直线
平面
B.当
时,
的最小值为
C.当
时,
的取值范围为
D.当
,且
时,则点
的轨迹长度为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知平面内非零向量
在向量
上的投影向量为
,且
,则
与
夹角的余弦值为______.
13.已知双曲线
的左焦点为
,过原点且斜率为
的直线与双曲线交于
两点,若
,则双曲线的离心率为______.
14.已知函数
相邻两零点的距离为
,且
,将
图像向左平移
个单位长度,再将所得图像上的所有点保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后得到函数
的图像.若存在非负实数
使得,
在
内恰好有8个零点,则所有符合条件的
值组成的集合为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)如图,在三棱锥
中,平面
平面
,点
为
的重心,
.
(1)若
平面
,求
的长度;
(2)当
时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
16.(本小题15分)在
中,内角
所对的边分别为
,其外接圆的半径为
,且
.
(1)求角
;
(2)若
的角平分线交
于点
,点
在线段
上,
,求
的面积.
17.(本小题15分)某数学兴趣小组模拟
“
刮刮乐
”
彩票游戏,每张彩票的刮奖区印有从10个数字1,2,
中随机抽取的3个不同数字,刮开涂层即可兑奖,中奖规则为:每张彩票只能中奖一次(按照最高奖励算)若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时,中三等奖;若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时,中二等奖;若3个数的积既为3的倍数,又为4的倍数,又为7的倍数时,中一等奖;其他情况不中奖.
(1)在一张彩票中奖的前提下,求这张彩票是一等奖的概率;
(2)假设每张彩票售价为
元,
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