湖南长沙市四区县2023-2024学年高三下学期3月调研考试（一模）数学 .docx

2024 年 3 月高三调研考试 科目：数学 （试题卷） 注意事项： 1. 本试题卷共 5 页，共四个大题， 19 个小题 . 总分 150 分，考试时量 120 分钟 . 2. 接到试卷后，请检查是否有缺页 ､缺题或字迹不清 等问题 . 如有，清及时报告监考老师 . 3. 答题前，务必将自己的姓名 ､考号写在答题卡和该试题卷的封面上 ，并认真核对条形码的姓名 ､考号和科目 . 4. 作答时，请将答案写在答题卡上 . 在草稿纸 ､试题卷上答题无效 . 姓名 __________. 准考证号 __________. 绝密 ★ 启用前 2024 年 3 月高三调研考试试卷 数学 （长沙县 ､望城区､浏阳市､宁乡市联合命制 ） 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 . 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A.76 B.72 C.36 D.32 3. 设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，且 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 . 已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 2 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 将甲 ､乙､丙､丁 4 个人全部分配到 三个地区工作，每个地区至少有 1 人，则不同的分配方案为（ ） A.36 种 B.24 种 C.18 种 D.16 种 6 . 过点 与圆 相切的两条直线夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 钝角 中， ，则 （ ） A.1 B. C. D.0 8 . 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 经过点 ，并且与抛物线 交于 两点，与 轴交于点 ，与抛物线的准线交于点 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二 ､多选题 ：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9 . 设 为非零复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 的最大值为 2 10 . 已知函数 ，把 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，以下说法正确的是（ ） A. 是 图象的一条对称轴 B. 的单调递减区间为 C. 的图象关于原点对称 D. 的最大值为 11 . 已知 是定义在 上的连续函数，且满足 ，当 时， ，设 （ ） A. 若 ，则 B. 是偶函数 C. 在 上是增函数 D. 的解集是 三 ､填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12 . 已知一组数据如下： ，则这组数据的第 75 百分位数是 __________. 13 . 一个正四棱锥底面边长为 2 ，高为 ，则该四棱锥的内切球表面积为 __________. 14 . 已知对任意 ，且当 时，都有： ，则 的取值范围是 __________. 四 ､解答题 ：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . 15 . （本题满分 13 分）如图，在圆锥 中， 是圆 的直径，且 是边长为 4 的等边三角形， ， 为圆弧 的两个三等分点， 是 的中点 . （ 1 ）证明： 平面 . （ 2 ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 . 16 . （本题满分 15 分）已知函数 . （ 1 ）当 时，求函数 的极值； （ 2 ）若函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围 . 17 . （本题满分 15 分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有 三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目 中奖的概率是 ，项目 和 中奖的概率都是 . （ 1 ）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加 三个项目，如果 三个项目全部中奖，顾客将获得 100 元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得 50 元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望； （ 2 ）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目 . 已知某顾客中奖了，求他参加的是 项目的概率 . 18 . （本题满分 17 分）如图，已知 分别是椭圆 的右顶点和上顶点，椭圆 的离心率为 的面积为 1. 若过点 的直线与椭圆 相交于 两点，过点 作 轴的平行线分别与直线 交于点 . （ 1 ）求椭圆 的方程 . （ 2 ）证明： 三点的横坐标成等差数列 . 19 . （本题满分 17 分）若存在常数 ，使得数列 满足 ，则称数列 为 “ 数列 ”. （ 1 ）判断数列： 是否为 “ 数列 ” ，并说明理由； （ 2 ）若数列 是首项为 2 的 “ 数列 ” ，数列 是等比数列，且 与 满足 ，求 的值和数列 的通项公式； （ 3 ）若数列 是 “ 数列 ” ， 为数列 的前 项和， ，试比较 与 的大小，并证明 . 绝密 ★ 启用前 2024 年 3 月高三调研考试试卷数学 参考答案与试题解析 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A C D D 1 . 【解答】：由 ，所以 ，所以 . 故选： B. 2. 【解答】： . 故选 C. 3. 【解答】：由 ，则 ，又 ，所以 ，故 “ ” 是 “ ” 的充分条件 . 当满足 时，直线 可能平行，可能相交，也可能异面 .