湖南湘潭市2023届高三下学期5月适应性模拟考试数学试题(含参考答案)

2023 届湘潭市 5 月 7 日高三适应性模拟考试 数学 一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，且 ，则 的值为（ ） A. B. C D. 3. 已知 A ， B 是 ： 上的两个动点， P 是线段 的中点，若 ，则点 P 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学家僧一行应用 “ 九服晷影算法 ” 在《大衍历》中建立了晷影长 l 与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长 等于表高 与太阳天顶距 的正切值的乘积，即 ．若对同一 “ 表高 ” 两次测量， “ 晷影长 ” 分别是 “ 表高 ” 的 和 ，相应的太阳天顶距为 和 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为 2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 1 ，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取 1 个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的离心率为 ，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A ， B ， C ， D 四点，若四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：若直线 l 与函数 ， 的图象都相切，则称直线 l 为函数 和 的公切线．若函数 和 有且仅有一条公切线，则实数 a 的值为（ ） A. e B. C. D. 二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B C. 的图象关于点 对称 D. 区间 上单调递增 10. 如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 2 菱形，且 ，侧棱 ， E ， F 分别为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成角的大小为 B. 三棱锥 的体积为 C. 二面角 的正切值为 D. 三棱锥 的外接球的表面积为 11. 已知正项数列 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A. 数列 中的最小项为 B. 当 时， C. 当 时， D. 对任意 且 12. 已知抛物线 C ： 的焦点为 F ，过点 F 的两条互相垂直的直线 分别与抛物线 C 交于点 A ， B 和 D ， E ，其中点 A ， D 在第一象限，过抛物线 C 上一点 分别作 的垂线，垂足分别为 M ， N ， O 为坐标原点，若 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则直线 的倾斜角为 C. 四边形 的周长的最大值为 D. 四边形 的面积的最小值为 32 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知定义在 R 上的函数 的周期为 2 ，当 时， ，则 ________ ． 14. 2023 年国家公务员考试笔试于 1 月 7-8 日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为 100 分，行政职业能力测验中，考生成绩 X 服从正态分布 ．若 ，则从参加这次考试的考生中任意选取 3 名考生，至少有 2 名考生的成绩高于 90 的概率为 ________ ． 15. 在 中， ，且 ，若 ，则 ________ ． 16. 已知函数 有两个极值点 ，则实数 a 取值范围为 ________ ；若 ，则 的最大值为 ________ ． 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤 . 17. 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ． （1） 求角 A 的大小； （2） 若 D 是 BC 上一点，且 ，求 面积的最大值． 18. 如图，在四边形 中， ，以 为折痕将 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 ． （1） 证明： 平面 ； （2） 若 M 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. 已知正项等比数列 的前 n 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ，求数列 的前 项和 ． 20. 中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队 6 人，平均分为 3 组参加 “ 学术流派 ” 、 “ 文化载体 ” 、 “ 民俗文化 ”3 类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答 3 道题，若答对题目不少于 5 道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与