长
沙市第一中学2023-2024学
年
度高二第二学期第一次阶段性检测
数学
时量：120分钟
满分：150分
得分
__________
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数
，
则
（ ）
A．
B．2
C．
D．5
2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为
的扇形，则此圆锥的体积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
“
”
是
“
”
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4
．
已知
为双曲线
的左
、
右焦点，过
的直线
l
与双曲线的渐近线交于
A
、
B
两点，满足
A
,
B
均在
y
轴右侧，且
为正三角形，则双曲线
E
的渐近线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在等比数列
中，已知
,那么
等于
（ ）
A
．
B．
C．
D．
6．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有
（ ）
A．18种
B．24种
C．36种
D．48种
7．如图，已知圆
O
的半径为2，弦长
为圆
O
上一动点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
为定义在
上的偶函数，当
时，
,则下列四个判断正确的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是
（ ）
性别
物理学科
合计
喜爱
不喜爱
男
60
40
100
女
20
80
100
合计
80
120
200
参考公式：
，
其中
．
附表：
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B．女生中喜爱物理学科的频率为
C．依据小概率值
的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0
.
1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
10．函数
是定义域为
的奇函数，且它的最小正周期是2，已知
．下列四个判断中，正确的有
（ ）
A．函数
有5个零点
B．当
时，
为偶函数
C．当
时，函数
的值域为
D．当
时，函数
关于
对称
11．已知函数
图象如图1所示，
A
,
B
分别为图象的最高点和最低点，过
A
,
B
作
x
轴的垂线，分别交
x
轴于
,点
C
为该部分图象与
x
轴的交点，
与
y
轴的交点为
,此时
．将绘有该图象的纸片沿
x
轴折成
的二面角
,如图2所示，折叠后
，则下列四个结论正确的有
（ ）
图1
图2
A．
B．
的图象在
上单调递增
C．在图2中，
上存在唯一一点
Q
,使得
面
D．在图2中，若
是
上两个不同的点，且满足
,则
的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知
,则
的最小值为
__________．
13．已知直线
与抛物线
交于
A
,
B
两点，抛物线的焦点为
F
,
O
为原点，且
,则
__________．
14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体
“
阳马
”
为
“
底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥
”
，现有阳马
（如图），
平面
,点
E
,
F
分别在
上，当空间四边形
的周长最小时，三棱锥
外接球的表面积为
__________
．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知函数
．
（1）求
的最小正周期；
（2）设
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,且
,求
的面积．
16．（本小题满分15分）
已知平面内的一动点
满足方程
．
（1）求动点
P
的轨迹
C
的标准方程；
（2）已知点
，过
的直线交轨迹
C
于
A
、
B
两点，若
,求
的面积．
17．（本小题满分15分）
在如图所示的直三棱柱
中，
分别是线段
上的动点．
（1）若
平面
,求证：
;
（2）若
为正三角形，
E
是
的中点，求二面角
余弦值的最小值．
18．（本小题满分17分）
已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若函数
有两个零点
,
（
i
）求
m
的取值范围；（
ii
）求证：
．
19．（本小题满分17分）
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束
．
已知
A
团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响
．
（1）用随机变量
X
表示
A
团队第
位成员的闯关数，求
X
的分布列；
（2）已知
A
团队第
位成员上场并闯过第二关，求恰好是第
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