安徽宿州市2022-2023学年高三下学期教学质量检测（一模） 数学 (含参考解析)

宿 州市2023届高三教学质量检测 数学试题 2023.2 注意事项： 1. 本试卷满分 1 50分，考试时间 1 20分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡 一 并交回. 一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 的元素个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. “ ” 是 “ ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的 一 个幻方，如图所示，将1，2，3， … ，9填 入 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到 一 个3阶幻方. 一 般地，将连续的正整数1，2，3， … ， 填入 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作 n 阶幻方.记 n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 ，如 ，那么下列说法错误的是 （ ） A. B. 7阶幻方第4行第4列的数字为25 C. 8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D. 9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 5. 函数 的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 6. 设 ，若 ，则 （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知 A 、 B ， C 是双曲线 上不同的三点，且 ，直线 AC ， BC 的斜率分别为 ， （ ），若 的最小值为 1 ，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 2 8. 已知 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 . 9. 已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是 （ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则向量 在 上的投影向量为 D. 若 ，则向量 与 的夹角为锐角 10. 已知函数 ，其图象相邻对称轴间的距离为 ，点 是其中 一 个对称中心，则下列结论正确的是 （ ） A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 图象的一条对称轴方程是 C. 函数 在区间 上单调递增 D. 将函数 图象上所有点 横 坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象 11. 已知 ， ，且 ，则下列不等关系成立的是 （ ） A . B. C. D. 12. 棱 长为2的正方体 中， E ， F ， G 分别为棱 AD ， ， 的中点，过点 E ， F ， G 的平面记为平面 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 平面 B. 平面 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》 C. 平面 截正方体 外接球所得圆的面积为 D. 正方体 的表面上与点 E 的距离为 的点形成的曲线的长度为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分， 共 20分 . 13. 一 组样本数据： ， ， ， ， ，由最小二乘法求得线性回归方程为 ，若 ，则实数 a 的值为______. 14. 若抛物线 C ： 存在以点 为中点的弦，请写出 一 个满足条件的抛物线方程为_______. 15. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ，则数列 的前 n 项和 ______. 16. 已知函数 （ e 为自然对数的底数），若 在 上 恒 成立，则实数 a 的取值范围是______. 四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 17.（本小题满分 1 0分） 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 . （1）求角 A 的大小； （2）求 的取值范围 . 18.（本小题满分 1 2分） 如图，四棱锥 中， 底面 ABCD ， ， ， ， ， E 为棱 PC 靠近点 P 的三等分点 . （1）证明： 平面 PAB ； （2）求 DE 与平面 PBC 所成的角的正弦值 . 19.（本小题满分 1 2分） 在数列 中， ，且 . （1）令 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 n 项和为 ，求 . 20.（本小题满分 1 2分） 宿州号称 “ 中国云都 ” ，拥有华东最大的 云 计算数据中心、 CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家 量 子通信节点城市.为了统计智 算 中心的算力，现从全市 n 个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若 一 次抽取2个机房，全是小型机房的概率为 . （ 1 ）求 n 的值； （2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 21.（本小题满分 1 2分） 已知椭圆 C ： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ， M 为椭圆上异于左右顶点的动点， 的周长为 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 M 作圆 O ： 的两条切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 交椭圆 C 于 P ， Q 两点，求 的面积的取值范围 . 22.（本小题满分 1 2分） 已知函数 （e为自然对数的底数）， a ， . （1）当 时，讨