（数学试卷）吉林普通高中友好学校联合体2024-2025学年高二上学期期中联考试题(含参考解析)

吉林 省 普通高中友好学校联合体 2024-2025 学年 高二上学期期中联考数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. -4 C. 4 D. -2 【答案】 C 【解析】 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ， ， ， 设 ，即 ， ， . 故选： C. 2. 已知向量 ， ，则 （ ） A. B. 40 C. 6 D. 36 【答案】 C 【解析】 由题意， ∵ ， ， ∴ ， ∴ . 故选： C. 3. 设双曲线 的离心率是 3, 则其渐近线的方程为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】解：双曲线 的离心率是 3 ， 可得 ，则 . 则双曲线的渐近线的方程为： . 故选： A. 4. 已知双曲线 的焦点与椭圆 ： 的上、下顶点相同，且经过 的焦点，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 椭圆 ： ，上、下顶点分别为 ， ， 上、下焦点分别为 ， . 因为双曲线 的焦点与 的上、下顶点相同，且经过 的焦点， 设双曲线方程为 ，则有 ， ， ， 所以双曲线 的方程为 . 故选： C 5. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 的面积为 ，两个焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若四边形 的周长为 12 ，则椭圆 C 的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】 A 【解析】 因为椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积， 已知椭圆面积为 ，则 ， 又椭圆的两个焦点分别为 ， ，直线 与椭圆交于 A ， B 两点， 由椭圆对称性，得线段 互相平分于原点，则四边形 为平行四边形， 因为四边形 的周长为 12 ，由椭圆的定义得 ，解得 ， 所以椭圆 的短半轴长 . 故选： A. 6. 如图，在平行六面体 中， AC 与 BD 的交点为点 M ， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 - ＝ ， . 故选： A ． 7. 已知在圆 内，过点 的最长弦和最短 弦 分别是 和 ，则四边形 的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】 D 【解析】 圆 由题意可得 最长弦为直径等于 6 ，最短的 弦由垂径 定理可得 ， 则四边形 的面积为 . 故选： D. 8. 过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】