2024年湖南省长沙市高三数学上学期第一次调研测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.设集合
,
,则
的元素个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若复数
(
i
是虚数单位),则
(
)
A.
B.1
C.
D.
3.已知向量
,
,
,若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,则
的面积为(
).
A.1
B.2
C.
D.
4.在三角形
ABC
中,已知三边之比
,则
的值等于(
)
A.1
B.2
C.
D.
5.数列
的通项公式为
,若数列
单调递增,则
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
6.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量
P
(单位:
)与时间
t
(单位:
h
)间的关系为
,其中
,
k
是正的常数.如果在前5
h
消除了
的污染物,则15
h
后还剩污染物的百分数为(
)
A.
B.
C.
D.
7.设椭圆
的左、右焦点分别为
、
,
是椭圆上一点,
,
,则椭圆离心率的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知正三棱台
的上,下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,以下底面顶点
为球心,
为半径的球面与侧面
的交线长为(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知函数
的所有零点从小到大依次记为
,则(
)
A.
B.
C.
D.
10.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球,2个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件
:取出的两个球是一个红球一个白球,事件
:两个球中至少一个白球,事件
:两个球均是红球,则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知双曲线
:
的右焦点为
F
,动点
M
,
N
在直线
:
上,且
,线段
,
分别交
C
于
P
,
Q
两点,过
P
作
的垂线,垂足为
.设
的面积为
,
的面积为
,则(
)
A.
的最小值为
B.
C.
为定值
D.
的最小值为
12.已知
,
,则下列结论正确的是(
)
A.函数
在
上存在极大值
B.
为函数
的导函数,若方程
有两个不同实根,则实数
m
的取值范围是
C.若对任意
,不等式
恒成立,则实数
a
的最大值为
D.若
,则
的最大值为
三、填空题
13.为了做好社区新疫情防控工作,需要将5名志愿者分配到甲
、
乙
、
丙
、
丁4个小区开展工作,若每个小区至少分配一名志愿者,则有
种分配方法(用数字作答);
14.在数列
中,
,
,其中
是自然对数的底数,令
,则
.
15.已知
是正四面体
的外接球的一条直径,点
在正四面体表面上运动,正四面体的棱长是2,则
的取值范围为
.
16.已知函数
,若函数
的图象在点
和点
处的两条切线相互平行且分别交
轴于
、
两点,则
的取值范围为
.
四、解答题
17.如图,在
中,
,点
是边
上一点,且
,
(1)求
的面积;
(2)求线段
的长.
18.已知数列
的前
项和为
,
,且满足
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前
项和
.
19.如图,在四棱锥
中,
为等边三角形,
,
,且
,
,
,
为
中点.
(1)求证:平面
平面
;
(2)若线段
上存在点
,使得二面角
的大小为
,求
的值.
20.2023年秋末冬初,呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒,人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动,现从中抽取200名学生,记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图,根据图形,请回答下列问题:
(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩,求5人中成绩低于50分的人数;
(2)以样本估计总体,利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数;
(3)首轮竞赛成绩位列前
的学生入围第二轮的复赛,请根据图中信息,估计入围复赛的成绩(记为
).
21.已知椭圆
的离心率为
,斜率为2的直线
l
与
x
轴交于点
M
,
l
与
C
交于
A
,
B
两点,
D
是
A
关于
y
轴的对称点.当
M
与原点
O
重合时,
面积为
.
(1)求
C
的方程;
(2)当
M
异于
O
点时,记直线
与
y
轴交于点
N
,求
周长的最小值.
22.已知函数
.
(1)当
时,求在曲线
上的点
处的切线方程;
(2)讨论函数
的单调性;
(3)若
有两个极值点
,
,证明:
.
参考答案:
1.C
【分析】明确集合交集的含义,利用解方程组即可确定答案.
【详解】由于
,
为点集,
故求
的元素个数即为求
的解的个数,
解方程
,可得
或
或
,
故
的元素个数是3个,
故选:C
2.A
【分析】根据复数的乘方运算及乘法运算求得
z
,由模长公式求得模长即可.
【详解】解:∵
,
∵复数
,
∴
,
∴
,
∴
,
则
,
故选:A
.
3.B
【解析】
为等腰直角三角形,则有
及
,
【详解】由题知,
,
,
故
,则
,
故选:B.
【点睛】本题考查向量的数量积,掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键.
4.B
【分析】根据三边关系求出
,根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.
【详解】三角形
ABC
中,已知三边之比
可设
,
由余弦定理可得:
,
由正弦定理可得:
故选:B
5
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