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湖南长沙市2024届高三上学期第一次调研测试数学试题 (含参考解析)

2024年 湖南省 长沙市 格式: DOCX   28页   下载:0   时间:2024-03-27   浏览:23787   免费试卷
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2024年湖南省长沙市高三数学上学期第一次调研测试卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1.设集合 , ,则 的元素个数是(      ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若复数 ( i 是虚数单位),则 (      ) A. B.1 C. D. 3.已知向量 , , ,若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形,则 的面积为(      ). A.1 B.2 C. D. 4.在三角形 ABC 中,已知三边之比 ,则 的值等于(      ) A.1 B.2 C. D. 5.数列 的通项公式为 ,若数列 单调递增,则 的取值范围为 A. B. C. D. 6.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量 P (单位: )与时间 t (单位: h )间的关系为 ,其中 , k 是正的常数.如果在前5 h 消除了 的污染物,则15 h 后还剩污染物的百分数为(      ) A. B. C. D. 7.设椭圆 的左、右焦点分别为 、 , 是椭圆上一点, , ,则椭圆离心率的取值范围为(      ) A. B. C. D. 8.已知正三棱台 的上,下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,以下底面顶点 为球心, 为半径的球面与侧面 的交线长为(      ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知函数 的所有零点从小到大依次记为 ,则(      ) A. B. C. D. 10.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球,2个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件 :取出的两个球是一个红球一个白球,事件 :两个球中至少一个白球,事件 :两个球均是红球,则下列结论正确的是(      ) A. B. C. D. 11.已知双曲线 : 的右焦点为 F ,动点 M , N 在直线 : 上,且 ,线段 , 分别交 C 于 P , Q 两点,过 P 作 的垂线,垂足为 .设 的面积为 , 的面积为 ,则(      ) A. 的最小值为 B. C. 为定值 D. 的最小值为 12.已知 , ,则下列结论正确的是(      ) A.函数 在 上存在极大值 B. 为函数 的导函数,若方程 有两个不同实根,则实数 m 的取值范围是 C.若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 a 的最大值为 D.若 ,则 的最大值为 三、填空题 13.为了做好社区新疫情防控工作,需要将5名志愿者分配到甲 、 乙 、 丙 、 丁4个小区开展工作,若每个小区至少分配一名志愿者,则有 种分配方法(用数字作答); 14.在数列 中, , ,其中 是自然对数的底数,令 ,则 . 15.已知 是正四面体 的外接球的一条直径,点 在正四面体表面上运动,正四面体的棱长是2,则 的取值范围为 . 16.已知函数 ,若函数 的图象在点 和点 处的两条切线相互平行且分别交 轴于 、 两点,则 的取值范围为 . 四、解答题 17.如图,在 中, ,点 是边 上一点,且 , (1)求 的面积; (2)求线段 的长. 18.已知数列 的前 项和为 , ,且满足 . (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前 项和 . 19.如图,在四棱锥 中, 为等边三角形, , ,且 , , , 为 中点.    (1)求证:平面 平面 ; (2)若线段 上存在点 ,使得二面角 的大小为 ,求 的值. 20.2023年秋末冬初,呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒,人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动,现从中抽取200名学生,记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图,根据图形,请回答下列问题: (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩,求5人中成绩低于50分的人数; (2)以样本估计总体,利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数; (3)首轮竞赛成绩位列前 的学生入围第二轮的复赛,请根据图中信息,估计入围复赛的成绩(记为 ). 21.已知椭圆 的离心率为 ,斜率为2的直线 l 与 x 轴交于点 M , l 与 C 交于 A , B 两点, D 是 A 关于 y 轴的对称点.当 M 与原点 O 重合时, 面积为 . (1)求 C 的方程; (2)当 M 异于 O 点时,记直线 与 y 轴交于点 N ,求 周长的最小值. 22.已知函数 . (1)当 时,求在曲线 上的点 处的切线方程; (2)讨论函数 的单调性; (3)若 有两个极值点 , ,证明: . 参考答案: 1.C 【分析】明确集合交集的含义,利用解方程组即可确定答案. 【详解】由于 , 为点集, 故求 的元素个数即为求 的解的个数, 解方程 ,可得 或 或 , 故 的元素个数是3个, 故选:C 2.A 【分析】根据复数的乘方运算及乘法运算求得 z ,由模长公式求得模长即可. 【详解】解:∵ , ∵复数 , ∴ , ∴ , ∴ , 则 , 故选:A . 3.B 【解析】 为等腰直角三角形,则有 及 , 【详解】由题知, , , 故 ,则 , 故选:B. 【点睛】本题考查向量的数量积,掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键. 4.B 【分析】根据三边关系求出 ,根据二倍角公式结合正弦定理即可得解. 【详解】三角形 ABC 中,已知三边之比 可设 , 由余弦定理可得: , 由正弦定理可得: 故选:B 5
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