2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 试卷
2024.4
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.
2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.
3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.
4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合
，集合
，那么
.
2. 已知复数
（
为虚数单位），则
.
3. 在
中，
，
，
，则
的外接圆半径为
.
4. 若正数
满足
，则
的最小值为
.
5. 已知数列
的前
项和为
，若
（
是正整数），则
.
6. 若圆
与圆
内切，则实数
＝
.
7．已知
的二项展开式中各项系数和为
，则展开式中常数项的值为
.
8. 已知函数
在
处有极值
，则
.
9.
同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量
表示结果中有正面朝上，
表示结果中没有正面朝上，则
.
10. 将四棱锥
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_______．
11. 如图，两条足够长
且
互相垂直的轨道
相交于点
，一根长度为
的直杆
的两端点
分别在
上滑动（
两点不与
点
重合，轨道与直杆的宽度
等因素
均可忽略不计），直杆上的点
满足
，则
面积的取值范围是
.
12.
如图所示，已知
满足
，
为
所在平面内一点．定义点集
.若存在点
，使得对任意
，满足
恒成立，则
的最大值为
.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.
在下列函数中，值域为
的偶函数是
（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 为了研究
y
关于
x
的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
若已求得一元线性回归方程为
，
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．当
时，
y
的预测值为2.2
C．样本数据
y
的第40百分位数为1
D．去掉样本点
后，
x
与
y
的样本相关系数
r
不会改变
15. 已知函数
，其中
，实数
，下列选项中正确的是
（ ）
A. 若
，函数
关于直线
对称
B. 若
，函数
在
上是增函数
C. 若函数
在
上最大值为1，则
D. 若
，则函数
的最小正周期是
16. 三棱锥
各顶点均在半径为
的球
的表面上，
，二面角
的大小为
，则对以下两个命题，判断正确的是
（ ）
①
三棱锥
的体积为
；
②
点
形成的轨迹长度为
.
A．
①②
都是真命题 B．
①
是真命题，
②
是假命题
C．
①
是假命题，
②
是真命题 D．
①②
都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数
，其中
．
（1）求证：
是奇函数；
（2）若关于
的方程
在区间
上有解，求实数
的取值范围．
【解】（1）
（2）
18.
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面
圆
的圆心，
为
圆
的
直径，
且
，
是底面
圆
的内接正三角形，
为
线段
上一点，且
．
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解】（1）
（2）
19.
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
未患病者
患病者
合计
未服用
中草药甲
服用
中草药甲
合计
为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表. （单位：个）
(1)若规定显著性水平
，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为
，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为
．若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为
，求
的分布和数学期望．
附：
，
.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【解】（1）
（2）
20.
（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆
，
分别
为椭圆
的左、右顶点，
分别
为左、右焦点，直线
交椭圆
于
两点
不过点
．
（1）
若
为椭圆
上（除
外）
任意一点，求直线
和
的斜率之积；
（2）
若
，求直线
的方程；
（3）
若
直线
与直线
的斜率分别是
，
且
，求证：直线
过定点
．
【解】（1）
（2）
（3）
21.
（本题满分18分，第1小题满分4分，第2
小题
（i）满分6分，（ii）满分8分）
已知各项均不为0的数列
满足
（
是正整数），
，
定义函数
，
是自然对数的底数．
（1）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）记函数
，其中
．
上海市徐汇区2024届高三下学期4月二模考试 数学 .docx
