（数学试卷）2024年高考真题——北京卷.docx

2024 年高考数学真题 ( 北京卷 ) 一、单选题 1. 已知集合 M ={ x |-3< x <1} ， N ={ x |-1≤ x <4} ，则 M ∪ N 等于 ( 　　 ) A.{ x |-1≤ x <1} B.{ x | x >-3} C.{ x |-3< x <4} D.{ x | x <4} 答案　 C 解析　 由集合的并运算，得 M ∪ N ={ x |-3< x <4}. 2. 若复数 z 满足 =-1-i ，则 z 等于 ( 　　 ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 答案　 C 解析　 由题意得， z =i(-1-i)=1-i. 3. 圆 x 2 + y 2 -2 x +6 y =0 的圆心到直线 x - y +2=0 的距离为 ( 　　 ) A. B.2 C.3 D.3 答案　 D 解析　 将圆的方程化为标准方程， 得 ( x -1) 2 +( y +3) 2 =10 ， 所以该圆的圆心 (1 ， -3) 到直线 x - y +2=0 的距离为 = =3 . 4. 在 ( x - ) 4 的展开式中， x 3 的系数为 ( 　　 ) A.6 B.-6 C.12 D.-12 答案　 A 解析　 方法一　 ( x - ) 4 的展开式的通项 T r +1 = x 4- r (- ) r =(-1) r ( r =0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4). 由 4- =3 ，得 r =2 ， 所以在 ( x - ) 4 的展开式中， x 3 的系数为 (-1) 2 =6. 方法二　 ( x - ) 4 的展开式中含 x 3 的项是由 ( x - )( x - )( x - )( x - ) 中任意取 2 个括号内的 x 与剩余的 2 个括号内的 (- ) 相乘得到的， 所以 ( x - ) 4 的展开式中含 x 3 的项为 x 2 · (- ) 2 =6 x 3 ， 所以在 ( x - ) 4 的展开式中， x 3 的系数为 6. 5. 设 a ， b 是向量，则 “( a + b )·( a - b )=0” 是 “ a =- b 或 a = b ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案　 B 解析　 由 ( a + b )·( a - b )=0 ， 得 a 2 - b 2 =0 ， 即 | a | 2 -| b | 2 =0 ，所以 | a |=| b | ， 当 a =(1 ， 1) ， b =(-1 ， 1) 时， | a |=| b | ，但 a ≠ b 且 a ≠- b ， 故充分性不成立； 当 a =- b 或 a = b 时， ( a + b )·( a - b )=0 ， 故必要性成立 . 所以 “( a + b )·( a - b )=0” 是 “ a =- b 或 a = b ” 的必要不充分条件 . 6. 设函数 f ( x )=sin ωx ( ω >0). 已知 f ( x 1 )=-1 ， f ( x 2 )=1 ，且 | x 1 - x 2 | 的最小值为 ，则 ω 等于 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　 B 解析　 因为 f ( x )=sin ωx ∈ [-1 ， 1] ， 且 f ( x 1 )=-1 ， f ( x 2 )=1 ， | x 1 - x 2 | min = ， 所以 f ( x ) 的最小正周期 T =2× =π ， 所以 ω = =2. 7. 生物丰富度指数 d = 是河流水质的一个评价指标，其中 S ， N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数 . 生物丰富度指数 d 越大，水质越好 . 如果某河