【数学】浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二下学期期中联考试题（解析版）.docx

浙江省杭州市 S9 联盟 2024-2025 学年高二下学期 期中联考数学试题 考生须知： 1 ．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3 ．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4 ．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意得， ， 则 ． 故选： A ． 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【解析】 复数 ， 对应的点为 ，点在第二象限 . 故选： B. 3. 已知 ， ， ，则过点 且与线段 平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ， ， ， 所以 ， 则所求直线的斜率为 ， 所以过点 且与线段 平行的直线方程为 ，即 ． 故选： B 4. 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 由 ，解得 或 ， 故由 能够推出 ；由 不能够推出 ， 故 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件， 故选： A ． 5. 函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 因为 恒成立， 所以当 时， ， 即函数 的单调递增区间是 . 故选： D. 6. 椭圆 （ ）的两个焦点分别为 、 ，以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设以 为边作正三角形 与椭圆交于 ， 两点， 则 ，所以 ， 由椭圆的定义可得 ，即 ， 则离心率 . 故选： B. 7. 正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 以 为坐标原点，建立如图所示 空间直角坐标系 ． 设正方体的棱长为 1 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ． 又 ， ∴ 平面 ， ∴ 是平面 的一个法向量， ∵ ， ∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 故选： C 8. 定理：如果函数 及 满足： ① 图像在闭区间 上连续不断； ② 在开区间 内可导； ③ 对 ， ，那么在 内至少存在一点 ，满足 成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知 ，若存在正数 ， （ ），满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.