辽宁鞍山市普通高中2023-2024学年高三上学期期末联考试题+数学+(含参考解析)

2023-2024 学年度上学期期末考试 高三数学 时间： 120 分钟 满分： 150 分 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 （其中 为虚数单位）对应的点位于（      ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰： “ 我羊食半马 .” 马主曰： “ 我马食半牛 .” 今欲衰偿之，问各出几何？此问题 译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗 . 禾苗主人要求赔偿 5 斗粟 . 羊主人说： “ 我的羊所吃的禾苗只有马的一半 .” 马主人说： “ 我的马所吃的禾苗只有牛的一半 .” 打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还 升､ 升､ 升粟， 1 斗为 10 升，则（ ） A. ， ， 依次成公比为 2 的等比数列 B. ， ， 依次成公差为 2 的等差数列 C D. 5. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 设 F 为抛物线 的焦点，点 A 在 C 上，点 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 为了支援山区教育，现在安排 名大学生到 个学校进行支教活动，每个学校至少安排 人，其中甲校至少要安排 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种 A. B. C. D. 8. 设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 . 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （ 2 ， ）， P （ X <4 ） =0.8 ，则 P （ 2< X <4 ） =0.2 B. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为 y = + ，若 =1 ， =3 ，则 =1 D. 若样本数据 2 +1 ， 2 +1 ， …… ， 2 +1 的方差为 8 ，则数据 ， … ， 的方差为 2 10. 已知 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆柱的轴截面 是正方形， E 在底面圆周上， ， F 是垂足， G 在 BD 上， ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 直线 与直线 所成角的余弦值为 C. 直线 与平面 所成角的余弦值为 ． D. 若平面 平面 ，则 12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数 的一个周期为 B. 函数 在 上单调递增 C. 函数 的最大值为 D. 函数 图象关于直线 对称 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13 已知 ， ，若 ，则 ______ ． 14. 已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，若直线 与两坐标轴交点分别为 、 ，则 ________ ． 15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5:3 ，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 ．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ______ ． 16. 已知正三棱台的高为 1 ，上下底面的边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 ________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知 分别为 内角 的对边， ，且 . （1） 求 ； （2） 若 ， 的面积为 ，求 的周长 . 18. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若 ，求数列 的前 n 项和 ． 19. 随着北京 2022 冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展 . 某地为深入了解学生参与 “ 自由式滑雪 ” 、 “ 单板滑雪 ” 两项运动的情况，在该地随机抽取了 10 所学校进行调研，得到数据如下： （1） 从这 10 所学校中随机选取 1 所学校，求这所学校 “ 自由式滑雪 ” 参与人数超过 40 人的概率； （2） 规定 “ 单板滑雪 ” 的参与人数超过 45 人的学校作为 “ 基地学校 ”. （ i ）现在从这 10 所学校中随机选取 3 所，记 为其中的 “ 基地学校 ” 的个数，求 的分布列和数学期望； （ ii ）为提高学生 “ 单板滑雪 ” 水平，某 “ 基地学校 ” 针对 “ 单板滑雪 ” 的 4 个基本动作进行集训并考核 . 要求 4 个基本动作中至少有 3 个动作达到 “ 优秀 ” ，则考核为 “ 优秀 ”. 已知某同学参训前， 4 个基本动作中每个动作达到 “ 优秀 ” 的概率均为 0.2 ，参训后该同学考核为 “ 优秀 ”. 能否认为该同学在参训后 “ 单板滑雪 ” 水平发生了变化？并说明理由 . 20. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为线段 的动点 . （1） 若直线 平面 ，求证： 为 的中点； （2） 若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值 . 21. 已知