2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测
数学试题卷
考生须知:
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名
、姓名、试场号、座位号、准考证号
,并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.
3.答案必须写在答题卡相应的位置上,写在其他地方无效.
一
、选择题
(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.若
(
是虚数单位),则
( )
A.2 B.3 C.
D.
3.军事上角的
度量
常用密位制,密位制的单位是“密位”.1密位就是圆周的
所对的圆心角的大小.若角
密位,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.已知平面
平面
,直线
,则“
”是“
”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.杭州亚运会火炬如图(1)所示,小红在数学建模活动时将其抽象为图(2)所示的几何体.假设火炬装满燃料,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,记剩余燃料的高度为
h
,则
h
关于时间
t
的函数的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.雷峰塔位于杭州市西湖景区,主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔,总占地面积3133平方米,项目学习小组为了测量雷峰塔的高度,如图选取了与底部水平的直线
,测得
的度数分别为
,以及
两点间的距离
,则塔高
( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数
(
e
为自然对数的底数),则( )
A.
B.
,当
时,
C.
D.
,当
时,
8.设函数
,且
在区间
上单调,则
的最大值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
二
、多项选择题
(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)
9.已知函数
,则( )
A.函数
的图象关于原点对称 B.函数
的图象关于
轴对称
C.函数
的值域为
D.函数
是减函数
10.如图,
是正六边形
的中心,则( )
A.
B.
C.
D.
在
上的投影向量为
11.如图,质点
和
在单位圆
上逆时针作匀速圆周运动.若
和
同时出发,
的角速度为
,起点位置坐标为
的角速度为
,起点位置坐标为
,则( )
A.在
末,点
的坐标为
B.在1
s
末,扇形
的弧长为
C.在
末,点
在单位圆上第二次重合
D.
面积的最大值为
12.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球,若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,则称该球为圆锥的外接球.如图,圆锥
PO
的内切球和外接球的球心重合,且圆锥
PO
的底面直径为2
a
,则( )
A.设内切球的半径为
,外接球的半径为
,则
B.设内切球的表面积
,外接球的表面积为
,则
C.设圆锥的体积为
,内切球的体积为
,则
D.设
是圆锥底面圆上的两点,且
,则平面
截内切球所得截面的面积为
二
、填空题
(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.设函数
,若
,则
__________.
14.将曲线
上所有点向左平移
个单位,得到函数
的图象,则
的最小值为__________.
15.已知正三棱柱
的各条棱长都是2,则直线
与平面
所成角的正切值为__________;直线
与直线
所成角的余弦值为__________.
16.对于函数
,若存在
,使得
,则称
为函数
的“不动点”:若存在
,使得
,则称
为函数
的“稳定点”.记函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别为
和
,即
.经研究发现:若函数
为增函数,则
.设函数
,若存在
使
成立,则
的取值范围是__________.
三
、解答题
(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明
、证明过程或演
算
步骤
.)
17.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知角
的顶点与原点
重合,始边与
轴的非负
半轴
重合,它的终边过点
.
(1)求
的值.
(2)若角
满足
,求
的值.
18.(本题满分12分)
某工厂产生的废气经
过滤
后排放,
过滤
过程中废气的污染物数量
与时间
间的关系为
(其中
是正常数).已知在前5个小时消除了10%的污染物.
(1)求
的值(精称到0.01).
(2)求污染物
减少
需要花的时间(精确到
)?
参考数据:
19.(本题满分12分)
我们把由平面内夹角成
的两条数轴
构成的坐标系,称为“@未来坐标系”.如图所示,
两分别为
正方向上的单位向量.若向是
,则把实数对
叫做向量
的“@未来坐标”,记
.已知
分别为向是
的@未来坐标.
(1)证明:
.
(2)若向量
的“@未来坐标”分别为
,
,求向量
的夹角的余弦值.
20.(本题满分12分)
在四边形
中,
.
(1)求证:
.
(2)若
,且
,求四边形
的面积.
21.(本题满分12分)
生活中为了美观起见,售货员用彩绳对长方体礼品盆进行
捆扎
.有以下两种
捆扎方案
:方案(1)为十字
捆扎
(如图(1)),方案(2)为对角
捆
扎(如图(2)).设礼品盒的长
,
宽
,高
分别为
.
(1)在方案(2)中,若
,设平面
与平面
的交线为
,求证:
平面
.
(2)不考虑花结用绳,对于以上两种捆扎方式,你认为哪一种方式所用彩绳最少,最短绳长为多少
?
22.(本题满分12分)
已知函数
浙江杭州市2022-2023学年高一下学期期末考试 数学 (含参考答案)试卷word文档在线免费下载.docx