辽宁协作校2024届高三下学期第一次模拟考试 数学 .docx

2023-2024 学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，且 ，则集合 B 可以是( ) A. B. C. D. 2. 已知 ， （ i 为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知 ．则 “ 且 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线 下焦点和上焦点分别为 ，直线 与 C 交于 A ， B 两点，若 面积是 面积的 4 倍，则 （ ） A. 3 B. C. D. 5. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同 小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ） A B. C. D. 6. 若函数 使得数列 ， 为递减数列，则称函数 为“数列保减函数”，已知函数 为“数列保减函数”，则 a 的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若 ，则 （ ） A. 或 2 B. 或 C. 2 D. 8. 已知函数 ，若 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ） A. 样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B. 样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D. 样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 10. 已知函数 ，则 在区间 上为减函数的充分条件是（ ） A. B. 的图象关于直线 对称 C. 是奇函数 D. 的图象关于点 对称 11. 已知不相等的实数 ， 满足 ，则下列四个数 ， ， ， 经过适当排序后（ ） A. 可能 等差数列 B. 不可能是等差数列 C. 可能是等比数列 D. 不可能是等比数列 12. 设直线系 （其中 0 ， m ， n 均为参数， ， ），则下列命题中是真命题的是（ ） A. 当 ， 时，存在一个圆与直线系 M 中所有直线都相切 B. 存在 m ， n ，使直线系 M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C. 当 时，坐标原点到直线系 M 中所有直线的距离最大值为 1 ，最小值为 D. 当 ， 时，若存在一点 ，使其到直线系 M 中所有直线的距离不小于 1 ，则 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 抛物线 上的一点 到其准线的距离为 ______ ． 14. 已知函数 在 处有极值 8 ，则 等于 ______ ． 15. 杭州第 19 届亚运会是继 1990 年北京亚运会、 2010 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为 10 ，高分别为 2 和 6 ；圆台的上、下底面直径分别为 8 和 10 ，高为 2 ．则该组合体的体积为 ______ ． 16. 已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ， ，且对于任意 ，都有 （其中 ），则 ______ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，满足 . （1） 求证： ； （2） 若 为锐角三角形，求 的最大值． 18. 已知 为数列 的前 n 项和，满足 ，且 成等比数列，当 时， ． （1） 求证：当 时， 成等差数列； （2） 求 的前 n 项和 ． 19. 某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级 35 名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下 2 × 2 列联表(单位：人)： 数学成绩良好 数学成绩不够良好 语文成绩良好 12 10 语文成绩不够良好 8 5 （1） 能否有 95% 的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到 0.001 ) （2） 从该班的学生中任选一人， A 表示事件“选到的学生数学成绩良好”， B 表示事件“选到的学生语文成绩良好”， 与 的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为 R ． ( i )证明： ； ( ii )利用该表中数据，给出 ， 的估计值，并利用( i )的结果给出 R 的估计值． 附： ， 0.050 0.010 0 001 k 3.841 6.635 10.828 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 侧面 ， 为 中点， 是 上的点， ， ． （1） 求证：平面 平面 ； （2） 若二面角 的余弦值为 ，求 到平面 的距离 21. 已知圆 和椭圆 ，椭圆 的四个顶点为 ，如图． （1） 圆 与平行四边形 内切，求 的最小值； （2） 已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当 a ， b 满足什么条件时，对 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点与 外切，与