江苏南京师范大学附属中学2022-2023高三下学期5月模拟数学试题(含参考解析)

南京师大附中 2023 届高三年级模拟考试 数学 2023.5 （总分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1 ．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2 ．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3 ．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集 ， ，则 中元素个数为（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用列举法表示全集 ，再根据交集运算可得 ，得到集合 即可得解. 【详解】 ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴ 中元素个数为 4 个， 故选： B ． 2. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 由复数的乘法运算和加、减法运算化简复数，再由复数的模长公式即可得出答案. 【详解】 因为 ，所以 ， ， 故 . 故选： C . 3. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据古典概型的计算公式，即可得出 . 【详解】 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间 ，共36种； 设事件 =“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”， 则 共14种， 所以 ，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率 . 故选： A. 4. 已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用平面向量的线性运算可将 转化为 ，则得到 的值，进而即可求解． 【详解】 因为 ，边 的中点为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 因为 ， 所以 ， ，故 . 故选： D ． 5. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分， 是它的一条对称轴， 是它的一个焦点，一光线从焦点 发出，射到镜面上点 ，反射光线是 ，若 ， ，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，由题中条件可得 ， ，在直角三角形 中， ， ，由双曲线的定义可得 ，再求出离心率即可 . 【详解】 在平面直角坐标系中，如图， 反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ， 由 ， ，可得 ， . 记双曲线的焦距为 2 c ，长轴长为 2 a ， 在直角三角形 中， ， ， 由双曲线的定义，可得 ，所以 ，即 ， 所以离心率 . 故选： C 6. 等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则 “ ” 是 “ 对任意的 ， ， ， 构成等比数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用等比数列的性质进行分析运算即可得出结果 . 【详解】 先证明：若 ，则对任意的 ， ， ， 构成等比数列 . 若 ，则 ， ， ， 可得对任意的 ， ， ， 构成等比数列，公比为 . 再证明：若对任意的 ， ， ， 构成等比数列，则 . 若 ，则 n 为偶数时， ，此时 ， ， 不能构成等比数列，与已知矛盾，故 成立 . 故选： C. 7. 已知实数 ， 满足 ， ，其中 是自然对数的底数，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 由题可得 ， ，构造函数 ，利用导数讨论其单调性，即可得 ，再结合 即可求解 . 【详解】 由 可得， ，即 ，也即 ， 由 可得 ，所以 ， 即 ， 构造函数 ， 在 恒成立， 所以函数 在定义域 上单调递减， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 故选 :B. 8. 在三棱锥 中， ， ，圆柱体 在三棱锥 内部（包含边界），且该圆柱体 的底面圆 在平面 内，则当该圆柱体 的体积最大时，圆柱体 的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 设内接圆柱的底面半径为 r ，高为 h ，由轴截面中相似三角形把 用 表示，求出体积后利用导数求最大值及取最值时高的条件． 【详解】 设内接圆柱的底面半径为 r ，圆柱体 的高为 h . 是圆柱上底面与三棱锥侧面 的切点 , 是连接直线 与棱锥下底面的交点， 是圆柱上底面所在平面与 的交点， ， ， 则由 与 相似，可得 , 可得，可得 . 内接圆柱体积 . 因为 ， 单调递增 , 单调递减 , 所以 有最大值，此时 . 故选 :A. 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间 内的学生人数为 2 人．则（ ） A. 值为