（数学试卷）天津五区县重点校2024-2025学年高一下学期4月期中联考试题(含参考解析)

天津市五区县重点校 2024-2025 学年高一下学期 4 月 期中联考数学试题 一 ､ 选择题（本题共 9 小题，每题 4 分，共 36 分） 1. 设 i 为虚数单位，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】 A 【解析】 ，所以 . 故选： A. 2. 在 中， 是角 的对边， ，则角 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】 D 【解析】在 中， ，由正弦定理得 ，则 ， 因 ，则 的值为 或 . 故选： D. 3. 设 向量 ，且 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 A 【解析】因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 所以 ， 所以 故选： A ． 4. 一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为 ，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该四边形原来的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】如图，根据题意知， ， ， 所以等腰梯形的高 ，下底的长为 ， 所以等腰梯形的面积为 ， 所以该四边形原来的面积为 . 故选： A. 5. 若球的表面积扩大到原来的 9 倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 【答案】 B 【解析】设扩大前后球半径分别为 ， 由表面积之比为 ，得 ， 则体积之比为 . 故选： B. 6. 已知甲船位于灯塔 的北偏东 方向，且与 相距 3 海里，乙船位于灯塔 的北偏西 方向，若两船相距 海里，则乙船与灯塔 之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】 B 【解析】设甲船位于点 处，乙船位于点 处， 则由题意可得， ， ， ， 则由余弦定理可得： 即 ，即 ，得 ， 故乙船与灯塔 之间的距离为 海里 . 故选： B. 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆面，其内接正四棱柱的高为 ，则此正四棱柱的体积是（ ） A B. C. D. 【答案】 C 【解析】设圆锥底面半径为 ，因为母线长为 , 则半圆弧长 底面周长 ， 所以 ，圆锥的高为 如图，设 ，则 ，设 ，则 ， 因为 ， ∴ ，所以 ， ∴ ， ， 故选： C ． 8. 四边形 是边长为 的正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则 、 、 、 ，设点 ，其中 ， 所以， ， ， 所以， ， 因为函数 在区间 上单调递减， 当 时， 取最小值 . 故选： B. 9. 在 中， 分别是角 的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ① 若 ，则 是等腰三角形； ② 若 ，则 是等腰三角形； ③ 若 ，则 一定是锐角三角形； ④