四川省巴中市南江实验中学
2025-2026
学年高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
.
若向量
，
，且
，则
( )
A.
B.
C.
D.
2
.
已知复数
满足
，则
的虚部为
( )
A.
B.
C.
D.
3
.
在正方体
中，
，
、
分别为棱
，
的中点，则从点
出发，沿正方体表面到达点
的最短路径的长度为
( )
A.
B.
C.
D.
4
.
为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的
人的成绩：
单位：分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则这
人成绩的第
百分位数是
( )
A.
B.
C.
D.
5
.
已知
，则
的值为
( )
A.
B.
C.
D.
6
.
已知钝角
的三边为
，
，
，则实数
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
7
.
已知函数
在区间
上单调，则
的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
8
.
中国古代数学家刘徽在
九章算术注
中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约
年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等图
为棱长为
的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图
为棱长为
的正方体的八分之一，图
是底面边长为
的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖砸原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为
( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共
3
小题，共
18
分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9
.
在
中，
为边
的中点，则
( )
A.
B.
C.
D.
10
.
若复数
，则下列说法正确的是
( )
A.
当
或
时，
为实数
B.
若
为纯虚数，则
或
C.
若复数
对应的点位于第二象限，则
D.
若复数
是方程
的解，则
11
.
如图，在棱长为
的正方体
中，点
在线段
上运动，下列命题中正确的是
( )
A.
三棱锥
的体积为定值
B.
异面直线
与直线
所成角为定值
C.
在点
运动过程中，平面
截该正方体的截面形状为三角形或矩形
D.
直线
与平面
所成角的余弦值的范围是
三、填空题：本题共
3
小题，共
20
分。
12
.
计算
______
．
13
.
已知球
的半径为
，则它的表面积为
______
，体积为
______
．
14
.
已知向量
的模长分别为
，
，
，记向量
与
的夹角为
，
，则
的最大值为
______
．
四、解答题：本题共
5
小题，共
72
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15
.
本小题
分
已知向量
，若
，
与
的夹角为
．
求
；
求
与
夹角的余弦值．
16
.
本小题
分
为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了
人的成绩
均为整数
作为样本，将其整理后分为
组，并作出了如图所示的频率分布直方图．
求
的值；
从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少
保留整数
17
.
本小题
分
在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知
．
求
；
若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
18
.
本小题
分
已知函数
图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为
．
求
的解析式；
求
在
上的单调增区间；
设
，证明：函数
在
上必有零点．
19
.
本小题
分
如图，已知四棱锥
中，侧面
为边长等于
的正三角形，底面
为菱形，
，
为
中点，侧面
与底面
所成的二面角为
．
证明
平面
；
求点
到平面
的距离；
求二面角
的余弦值．
答案和解析
1.
【答案】
【解析】
解：根据题意，若向量
，
，且
，
则有
，解可得：
．
故选：
．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得
，解可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
2.
【答案】
【解析】
解：由
，得
，
则
．
的虚部为
．
故选：
．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.
【答案】
【解析】
解：如图，在正方体
中，
、
分别为棱
，
的中点，...
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