河南郑州市宇华实验学校2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学 (含参考解析)

绝密 ★ 启用前 2023 — 2024学年郑州市宇华实验学校高三（上） 期末考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、 单项 选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . 已知各项均为正数的等比数列 满足 .若存在两项 ， ，使得 ，则 的最小值为( ) A.4 B. C. D.9 2 . 已知函数 ,且 .若 ,则 ( ) A.2024 B.2023 C.2022 D.2025 3 . 已知函数 在区间 上单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 ( ) A. B. C. D. 4 . 在 中，下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 5 . 满足下列条件的两条直线 与 ，其中可以推出 的条件是( ) ① 的斜率为2， 过点 ， ； ② 经过点 ， ， 平行于 x 轴，但不经过 P 点； ③ 经过点 ， ， 经过点 ， . A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 6 . 在三棱锥 中， ， ， 两两互相垂直， ， ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则平面 的法向量可以是( ) A. B. C. D. 7 . 已知数列 满足： ，且数列 是递增数列，则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8 . 一个物体做直线运动，位移 s (单位：m)与时间 t (单位： s )之间的函数关系为 ，且这一物体在 这段时间内的平均速度为 ，则实数 m 的值为 ( ) A.2 B.1 C. D.6 二、 多项 选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9 . 设一元二次方程 的两个实根为, , ,则( ) A. B.当 时, 的最小值为 C. 为定值 D.当 时, 10 . 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点 P ，设点 P 的坐标为 ，其纵坐标满足 （ ， ， ），则下列叙述正确的是( ) A. ， ， B.当 时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为6 C.当 时，函数 单调递减 D.当 时， 11 . 已知点 , ,圆 ,若在圆 C 上存在唯一的点 Q 使得 ,则 m 可以为 ( ) A.3 B. C. D. 12 . 直线 是曲线 的切线,则实数 a 的值可以是 ( ) A.3π B.π C. D. 三 、填空题： 本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13 . 已知样本数据 , ,…, 的平均数与方差分别是 m 和 n ,若 ,且样本数据的 , ,…, 平均数与方差分别是 n 和 m ,则 ________. 14 . 已知过不同两点 ， 的直线 l 的一个方向向量 ，则实数 _________. 15 . 若直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ，则该直线的倾斜角 的取值范围是_ _________. 16 . 商场对某种产品的广告费用支出 x (元 ) 与销售额 y (元 ) 之间的关系进行调查，通过回归分析，求得 x 与 y 之间的关系式为 ，则当广告费用支出为10元时，销售额 y 的预报值为_ _______. 四、解答题： 本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .（ 10分 ） 如图 形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球, .球数构成一个数列 ,满足 , 且 . （1）求数列 的通项公式； （2）求证: . 18 .（ 12分 ） 如图,在 中,点 D 在 BC 边上, , , , （1）求 的值； （2）求 的面积. 19 . （ 12分 ） 已知函数 ,在 中, , ,且 的面积为 ． （1）求 C 的值 ； （2）求 的值． 20 . （ 12分 ） “现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为 A ,每期利率为 r ,期数为 n ,到期末的本利和为 S ,则 其中, S 称为 n 期末的终值, A 称为 n 期后终值 S 的现值,即 n 期后的 S 元现在的价值为 .现有如下问题:小明想买一套 房子有如下两个方案—— 方案一:一次性付全款50万元； 方案二:分期付款,每年初付款6万元,第十年年初付完； （1）已知一年期存款的年利率为4%,试讨论两种方案哪一种更好? （2）若小明把房子租出去,第一年年初需交纳租金2万元,此后每年初涨租金1000元,假设存款的年利率为4%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值. ( 精确到百元 ) .参考数据: . 21 . （ 12分 ） 设抛物线 的焦点为 F ,过 F 作斜率为1的直线交抛物线于 A , B 两点,且 , Q 为抛物线上一点,过 Q 作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除 Q 之外的 M 、 N 两点. (1)求 C 的方程 ； (2)若 Q 坐标为 ,且 ,判断 MN 斜率是否为定值,若是,求出该值,若不是,说明理由. 22 . （ 12分 ） 已知 ,设函数 , 是 的导函数. （1）若 ,求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 在区间 上存在两个不同的零点 , . ①