西藏自治区拉萨市2024届高三上学期第一次模拟考试 数学（理） (含参考解析)

拉萨市 2024 届高三第一次模拟考试 数学理科 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上 . 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 为纯虚数，则实数 值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 双曲线 的焦点坐标为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则 （ ） A B. C. D. 5. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ， 为坐标原点，则 （ ） A. B. C. 4 D. 5 7. 二项式 的展开式中的第 3 项为（ ） A. 160 B. C. D. 8. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为 ，底边上的高为 1 的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. “ 不以规矩，不能成方圆 ” 出自《孟子 · 离娄章句上》 .“ 规 ” 指圆规， “ 矩 ” 指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量 ､ 画圆和方形图案的工具 . 有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为 10cm ，较短边为 5cm ，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形 ABCD 的顶点都在圆周上，如图，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 的定义域为 R ， ， ，且 ， ，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 ，空间向量 ．若 ，则 ______ ． 14. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ______ . 15. 如果两个球的表面积之比为 ，那么这两个球的体积之比为 _____________ ． 16. 已知函数 ，函数 的图象与 轴的交点关于 轴对称，当 时，函数 ______ ；当函数 有三个零点时，函数 的极大值为 ______ ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. 已知等差数列 的前 项和为 ． （1） 求 的通项公式； （2） 记数列 的前 项和为 ，求 ． 18. 如图，正方体 的棱长为 2 ． （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. 当前，以 ChatGPT 为代表的 AIGC （利用 AI 技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱 AIGC ，我国的 BAT （百度、阿里、腾讯 3 个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局 AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《 2023 年中国 AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面 7 个科技企业中随机选取 3 个进行采访． （1） 求选取的 3 个科技企业中， BAT 中至多有 1 个的概率； （2） 记选取的 3 个科技企业中 BAT 中的个数为 ，求 的分布列与期望． 20. 设椭圆 ： （ ）的上顶点为 ，左焦点为 . 且 ， 在直线 上 . （1） 求 的标准方程； （2） 若直线 与 交于 ， 两点，且点 为 中点，求直线 方程 . 21. 已知函数 ． （1） 若 ，求 的最小值； （2） 若方程 有解，求实数 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1） 求直线 的直角坐标方程以及曲线 的普通方程； （2） 过直线 上一点 作曲线 的切线，切点为 ，求 的最小值 . 【选修 4-5 ：不等式选讲】 23 已知函数 . （1） 求不等式 的解集； （2） 证明： ， ，使得 . 拉萨市 2024 届高三第一次模拟考试 数学理科 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上 . 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A