辽宁沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试 数学(含参考答案)

2023-2024学年度 东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的． 1. 若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2 .已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在 的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若 是 上周期为3的偶函数，且当 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 5 . 若 ，且 ．则 （ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 函数 在区间 上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 是双曲线 的左 、 右焦点，点 为双曲线 右支上一点，点 在 轴上，满足 ，若 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 8 ． 设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式 恒成立，则称数列 为和谐数列，有下列3个命题： ① 若对任意的正整数 均有 ，则 为和谐数列； ② 若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值； ③ 若 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列． 以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个 A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.下列命题中， 真 命题 有 （ ） A. 若随机变量 ，则 B. 数据 6 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 1 ， 10 的 分位数是 8.5 C. 若随机变量 ， ，则 D. 若事件 , 满足 且 ，则 与 独立 10 . 如图，在正方体 中， ， 是正方形 内部(含边界)的一个动点，则（ ） A. 存在唯一点 ，使得 B. 存在唯一点 ，使得直线 与平面 所成 角取到最小值 C. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为 D. 若异面直线 与 所成的角为 ，则动点 的轨迹是 抛物线 的一部分 11 . 已知函数 的定义域均为 ，且满足 ， ， ，则（ ） A. B. 的图象关于点 对称 C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12 ． 若复数 （其中 表示虚数单位），则 ____________ ． 13. 如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任意一点 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若 （其中 ， 分别是 轴， 轴正方向的单位向量），则 点的斜坐标为 ，向量 的斜坐标为 ， ， ，则 的面积为______. 14 . 已知 的三个内角 A ， B ， C 满足 ，当 最大时，动点 P 使得 AP ， AB ， PB 的长依次成等差数列，此时 的最大值为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 ． （ 1 3 分 ） 已知 是等差数列， 是 等比数列，且 ， ， ， . 求 的通项公式； （ 2 ） 设 ，求 数列 的前 2 n 项和． 16 . （ 1 5 分 ） 如图，圆台上底面圆 半径为1，下底面圆 半径为 为圆台下底面的一条直径，圆 上点 满足 是圆台上底面的一条半径，点 在平面 的同侧，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）若圆台的高为2，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17 ．（1 5 分） 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有 只白鼠， 已知 每只白鼠在 未接种疫苗时 接触病鼠后被感染的概率为 ， 设 随机变量 表示 只白鼠 在未接种疫苗时 接触病鼠后被感染 的白鼠数 ，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 . （1） 若 ，求数学期望 ； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 与参数 的取值有关．团队 提出函数模型为 ．团队 提出函数模型为 ．现将 接种疫苗后的 白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量 表示第 组被感染的白鼠数，现将随机变量 的实验结果 绘制成频数分布图，如图所示． （ⅰ）试写出事件“ ， ，…， ”发生的概率表达式（用 表示，组合数不必计算）； （ ⅱ ） 在统计学中 ， 若参数 时使得概率 最大 ， 称 是 的最大似然估计 ． 根据这一原理和团队 ， 提出的函数模型 ， 判断哪个团队的函数模型可以求出 的最大似然估计 ， 并求出最大似然估计 ． 参考数据： ． （17分） 如图，已知抛物线 ，点 ，过点 任 作两条直线，分别与抛物线 交于A,B与C，D . （1）若 的斜率分别为 ，求四边形 的面积 ； （2）设 （ⅰ） 找到 满足的等量关系； （ⅱ） 交于点 ，证明：点 在定直线上 . 19 . （17分） 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性： （2）若 是方程 的两不等实根，求证： （i） ； （ii） ． 2023-2024学