陕西商洛市2024届高三下学期第三次尖子生学情诊断考试 数学（理）.docx

商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试 （ 第三次 ） 数学试卷 （ 理科 ） 考生注意 ： 1 ． 本试卷分选择题和非选择题两部分 ． 满分 150 分 ， 考试时间 120 分钟 ． 2 ． 答题前 ， 考生务必用直径 0 . 5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 ． 3 ． 考生作答时 ， 请将 答案答在答题 卡上 ． 选择题每小题选出答案后 ， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ； 非选择题请用直径 0 . 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答 ， 超出答题区域书写的答案无效 ， 在试题卷 、 草稿纸上作答无效 ． 4 ． 本卷命题范围 ： 高考范围 ． 一 、选择题 ： 本题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ． 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 ． 1 ． 若复数 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 （ ）． A ． 1 B ． 3 C ． D ． 2 ． 设集合 ， ， 则 （ ）． A ． B ． C ． D ． 3 ． 已知在特定的时期内某人在一个月内每天投 入 的体育锻炼时间 x （ 分钟 ） 与一个月内减轻的体重 y （ 斤 ） 的一组数据如表所示 ： x 30 40 50 60 70 y 1.1 1.9 3.2 4 4.8 一个月内减轻的体重 y 与每天投 入 的体育锻炼时间 x 之间具有较强的线性相关关系 ， 其线性回归直线方程是 ， 据此模型估计当此人在一个月内每天投 入 的体育锻炼时间为 90 分钟时 ， 该月内减轻的体重约为 （ ）． A ． 7 . 1 斤 B ． 7 . 0 斤 C ． 6 . 9 斤 D ． 6 . 8 斤 4 ． 已知 ， 则“ ”是“ ”的 （ ）． A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5 ． 甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生实习时 ， 有 A ， B ， C 三家企业可供选择 ， 若去 C 企业最多 一 人 ， 则不同分配种数是 （ ）． A ． 112 B ． 80 C ． 64 D ． 32 6 ． 对于两条不同的直线 m ， n 和两个不同的平面 ， ， 下列命题错误的是 （ ）． A ． 若 ， ， ， 则 B ． 若 ， ， ， 则 或 C ． 若 ， ， 则 或 D ． 若 ， ， 则 或 7 ． 在不等式组 表示的平面区域内任取 一 点 ， 则满足 的概率为 （ ）． A ． B ． C ． C ． 8 ． 已知 是圆 上任意一点 ， 则 的最大值为 （ ）． A ． B ． C ． D ． 9 ． 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国 ， 扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标 ， 某银行拟在乡村开展小额贷款业务 ． 根据调查的数据 ， 建立了实际还款比例 P 关于还款人的年收入 x （ 单位 ： 万元 ） 的 Logistic 模型 ： ． 已知当贷款人的年收 入 为 9 万元时 ， 其实际还款比例为 50 ％， 若贷款人 的年收 入 约为 5 万元，则实际还款比例约为 （ ）．（ 参考数据 ： ） A ． 30 ％ B ． 40 ％ C ． 60 ％ D ． 70 ％ 10 ． 在 中 ， ， 则 的最小值为 （ ）． A ． 4 B ． C ． D ． 16 11 ． 已知 e 是自然对数的底数 ， ， ， ， 则 （ ）． A ． B ． C ． D ． 12 ． 已知抛物线 的焦点为 F ， 过 F 的直线交 E 于 A ， B 两点 ， 点 P 满足 ， 其中 O 为坐标原点 ， 直线 AP 交 E 于另一点 C ， 直线 BP 交 E 于另一点 D ，记 ， 的面积分别为 ， ， 则 （ ）． A ． B ． C ． D ． 二、填空题 ： 本题共 4 小题，每小题 5 分 ， 共 20 分 ． 13 ． 设 ， 向量 ， ， 若 ， 则 __________ ． 14 ． 已知函数 ， 对任意的 ， 都有 ， 且 在区间 上单调 ， 则 的值为 __________ ． 15 ． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 点 P 在 C 的左支上， ， ， 延长 PO 交 C 的右支于点 Q ， 点 M 为双曲线上任意 一 点 （ 异于 P ， Q 两点 ）， 则直线 MP 与 MQ 的斜率之积 __________ ． 16 ． 已知圆锥的体积为 ， 若球 O 在圆锥内部 ， 则球 O 体积的最大值为 __________ ，此时圆锥的底面圆的半径为 __________ ． 三、解答题 ： 共 70 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 第 17 ～ 21 题为必考题 ， 每个试题考生都必须作答 ． 第 22 、 23 题为选考题 ， 考生根据要求作答 ． （ 一 ） 必考题 ： 共 60 分 ． 17 ．（ 本小题满分 12 分 ） 在数列 中 ， ， ， 数列 是公比不为 1 的等比数列 ， 且 ， ， 成等差数列 ． （ 1 ） 求数列 与 的通项公式 ； （ 2 ） 若 ， 求数列 的前 n 项和 ． 18 ．（ 本小题满分 12 分 ） 我国 一 科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进 口， 2019 年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划 ， 与国内产业链上下游企业开展深度合作 ， 共同推动产业发展 ． 2023 年 9 月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到了 90 ％， 该公司与 一 零部件制造公司合作生产某手机零部件 ， 为提高零部件质量 ， 该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力 ， 同时派本公司技术人员进厂指导 ， 并每天随机从生产线上抽取 一 批零件进行质量检测 ． 下面是某天从生产线上抽取的 1