上海闵行区2023-2024学年高三上学期学业质量调研试题（一模） 数学(含参考答案)

2023学年第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分 54 分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果 ． 1.已知集合 ，若 ，则实数 ________． 2.若 ，则 =________. 3.若 ，则 的最小值为________. 4.已知 ，则 =________． 5.已知圆锥的底面周长为 ,母线长为 ，则该圆锥的侧面积为________. 6 .若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为__ _ __. 7.若将函数 的图像向右平移 个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则 ________． 8.已知 ,数列 是公差为 的等差数列，若 的值最小，则 ________． 9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________． 10.若平面上的三个单位向量 、 、 满足 ， ，则 的所有可能的值组成的集合为________． 11.已知数列 为无穷等比数列，若 ，则 的取值范围为________． 12.已知点 在正方体 的表面上， 到三个平面 、 、 中的两个平面的距离相等，且 到剩下一个平面的距离与 到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点 的个数为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知 ， ，则下列不等式中不一定成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 14.某校读书节期间，共 名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取 名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取 人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取 人.下列说法正确的是 （ ） （A）高二和高三年级获奖同学共 人 （B）获奖同学中金奖所占比例一定最低 （C）获奖同学中金奖所占比例可能最高 （D）获金奖的同学可能都在高一年级 15.已知复数 、 在复平面内对应的点分别为 、 , （ 为坐标原点），且 ，则对任意 ，下列选项中为定值的是 （ ） （A） （B） （C） 的周长 （D） 的面积 16.已知函数 的导函数为 ，且 在 上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是 （ ） ①“ ”是“ ”的充要条件； ②“对任意 ，都有 ”是“ 在 上为严格增函数”的充要条件. （A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题 （C）①真命题；②真命题 （D）①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图,在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 底面 ,且 ,设 分别为 的中点. (1)证明:直线 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正切值. 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在 中，角 所对边的边长分别为 ，且 . (1)若 , ，求 的值； (2)若 为锐角三角形，求 的取值范围. 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 其中 、 均为正整数, . （1）从这 名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用 A 表示 事件“ 抽到的小青荷是男生”， 用 B 表示 事件 “抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组 、 的值，使得事件 与 相互独立，并说明理由． 20. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知 ，曲线 、 的方程分别为 和 ， 与 在第一象限内相交于点 ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，定点 的坐标为 ，动点 在直线 上，动点 在曲线 上，求 的最小值； （3）已知点 、 在曲线 上，点 、 关于直线 的对称点分别为 、 ，设 的最大值为 ， 的最大值为 ，若 ，求实数 的取值范围． 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知 ， ． （1）若 为函数 的驻点，求实数 的值； （2） 若 ，试问曲线 是否存在切线与直线 互相垂直？说明理由； （3）若 ，是否存在等差数列 ，使得曲线 在点