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四川雅安市天立教育集团2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 .docx

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天 立教育 2023-2024 学年第二学期高二入学联合考试 数学试卷 本试卷共 4 页, 22 道试题,考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分。 第 Ⅰ 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 . 直线 的斜率为( ) A . B . C . D . 2 . 椭圆 的短轴长为( ) A . B . C . 3 D . 6 3 . 已知平面 的一个法向量为 ,则 所在直线 与平面 的位置关系为 ( ) A . B . C . D . 与 相交但不垂直 4 .高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列,中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了名为 “ 垛积术 ” 的算法,展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、 刍甍垛等 的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛,最顶层有 1 个小球,第二层有 3 个,第三层有 6 个,第四层有 10 个,则第 30 层小球的个数为( ) A . 464 B . 465 C . 466 D . 495 5 . 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 为直角梯形, .则点 到平面 的距离为 ( ) A . B . C . D . 2 6 . 已知直线 和圆 ,则下列结论中错误的是( ) A .直线 过定点 B .直线 与圆 有两个交点 C .存在直线 与直线 垂直 D .直线 被圆 截得的最短弦长为 7 . 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动,折纸大约起游于公元 1 世纪或者 2 世纪时的中国,折纸与自然科学结合在一起,不仅成为建筑学院的教具,还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图,现有 一 半径为 4 的圆纸片( 为圆心, 为圆内的一定点),且 ,如图将圆折起一角,使圆周正好过点 ,把纸片展开,并留下一条折痕,折痕上到 两点距离之和最小的点为 ,如此往复,就能得到越来越多的折痕,设 点的轨迹为曲线 .在 上任取一点 ,则 面积的最大值是( ) A . 2 B . 3 C . D . 8 . 已知抛物线 ,圆 ,过圆心 作直线 与抛物线 和圆 交于四点,自上而下依次为 ,若 成等差数列,则直线 的斜率为( ) A . B . C . D . 二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9 .已知曲线 ,点 为曲线 上一动点,则下列叙述正确的是( ) A .若 ,则曲线 的离心率为 B .若 ,则曲线 的渐近线方程为 C .若曲线 是双曲线,则曲线 的焦点一定在 轴上 D .若曲线 是圆,则 的最大值为 4 10 .如图,正方体 的棱长为 1 ,线段 上有两个动点 ,且 ,则下列结论中正确的是( ) A . B . 平面 C .异面直线 所成的角为定值 D .直线 与平面 所成的角为定值 11 .已知数列 的前 项积为 ,则( ) A . B . 为递增数列 C . D . 的前 项和为 12 . 如图抛物线 的顶点为 ,焦点为 ,准线为 , 焦准距 为 4 ;抛物线 的顶点为 ,焦点也为 ,准线为 , 焦准距 为 和 交于 两点,分别过 作直线与两准线垂直,垂足分别为 ,过 的直线与封闭曲线 交于 两点,则下列说法正确的是( ) A . B .四边形 的面积为 C . D . 的取值范围为 . 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 .双曲线 的右焦点到渐近线的距离为 ______ . 14 . 如图,二面角 等于 是棱 上两点, 分别在半平面 内, ,且 ,则 ______ . 15 .如图,已知点 是棱长为 2 的正方体 的底面 内(包含边界)一个动点,若点 到点 的距离是点 到 的距离的两倍,则点 的轨迹的长度为 ______ . 16 . 设 为数列 的前 项和,已知 ,对任意 ,都有 ,则 的最小值为 ______ . 四、解答题:本大题共 6 小题,第 17 题 10 分, 1822 题各 12 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题 卡相应 题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效. 17 . 在 中,角 的对边分别为 ,已知 . ( 1 ) 求角 的大小; ( 2 )若 ,求 的面积. 18 . 已知数列 的通项公式为 ,数列 的通项公式为 . ( 1 )求数列 前 6 项的中位数和平均数; ( 2 )从数列 前 6 项中任取 2 项,求取出的 2 项中恰有 1 项是数列 中的项的概率. 19 . 已知双曲线 的渐近线方程是 ,右顶点是 . ( 1 )求双曲线 的离心率; ( 2 )过点 倾斜角为 的直线 与双曲线的另一交点是 ,若 ,求双曲线 的方程. 20 . 已知等差数列 满足 ,等比数列 满足 . ( 1 )求数列 的通项公式; ( 2 )设数列 满足 ,求数列 的前 项和 . 21 . 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 是边长为 2 的正三角形, . ( 1 )求证: ; ( 2 )若 平面 平面 ,求平面 与平面 夹角的余弦值. 22 . 如图,已知椭圆 的顶点 分别为矩形 的边 的中点,点 分别满足 ,直线 与直线 的交点为 . ( 1 )证明:点 在椭圆 上; ( 2 )设直线 与椭圆 相交于 两
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