2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测
数
学
（满分：150分
考试时间：120分钟）
注意事项：
1
．
答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2
．
答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3
．
答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．
4
．
考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第
Ⅰ
卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．
椭圆
的短轴长为
（ ）
A．
B．
C．3
D．6
2．
的展开式中含
的项是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
在空间直角坐标系中，已知点
，若
三点共线，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．10
D．13
4．
电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为
0～255
．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为
（ ）
A．
种
B．27种
C．
种
D．6种
5．
若双曲线
上一点
到其右焦点的距离是8，则点
到其左焦点的距离是
（ ）
A．4
B．10
C．2或10
D．4或12
6．
已知
（
均为有理数），则
的值为
（ ）
A．90
B．91
C．98
D．99
7．
已知抛物线
，圆
，过圆心
作斜率为
的直线
与抛物线
和圆
交于四点，自上而下依次为
，若
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8
．
将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有
（ ）
A．90种
B．120种
C．160种
D．190种
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．
已知直线
，则
（ ）
A．
是直线
的法向量
B．直线
的倾斜角为
C．直线
与直线
平行的充要条件是
D．直线
在两坐标轴上的截距相等
10．
在空间直角坐标系中，已知点
，则
（ ）
A．
B．
C．异面直线
与
所成角的余弦值为
D．
在
上的投影的数量为
11．
已知
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．
离心率为
的椭圆为
“
黄金椭圆
”
．如图，已知椭圆
为顶点，
分别为左、右焦点，
为椭圆上一点，下列条件能使椭圆
为
“
黄金椭圆
”
的有
（ ）
A．长轴长为4，短轴长为
B．
C．
轴，且
D．四边形
的内切圆过焦点
第
Ⅱ
卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．圆
和圆
的位置关系是
______．
14
．
六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
______
种．
15．
如图，在正六边形
中，以
为焦点，且经过点
的双曲线的离心率
______．
16．
如图，正方体
的棱长为
2，
P
是过顶点
的圆上的一点，
为
的中点．当直线
与平面
所成的角最大时，点
的坐标为
______
；直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围是
______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）已知
，计算：
；
（2）解方程：
．
18．
（12分）如图，
分别是四面体
的棱
的中点，
是
的三等分点（点
靠近点
），记
．
（1）以
为基底表示
；
（2）若
，求
．
19．
（12分）圆
内有一点
，过点
的直线交圆
于
两点．
（1）当
为弦
的中点时，求直线
的一般式方程；
（2）若圆
与圆
相交于
两点，求
的长度．
20．
（12分）已知
的展开式的所有二项式系数之和为64．
（1）求该二项式及其展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
21．
（12分）如图，
且
且
且
平面
．
（1）若
为
的中点，
为
的中点，求证：
平面
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）若点
在线段
上，直线
与平面
所成的角为
，求点
到平面
的距离．
22．
（12分）已知双曲线
的右焦点为
，其渐近线与抛物线
：
交于点
．
（1）求双曲线
及抛物线
的标准方程；
（2）设
是双曲线
与抛物线
在第一象限的交点，作直线
与双曲线
的两支分别交于点
，使得
．求证：直线
过定点．
2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测
数学
参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．
B
【解析】在椭圆
中，
，所以短轴长为
．
2．
C
【解析】
的展开式的通项公式为
，所以含
的项是
．
3．
B
【解析】因为
，且
三点共线，所以
，解得
．
4．
A
【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成
（种）不同的颜色
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