黑龙江大庆中学2023-2024学年高二下学期4月月考试题 数学 .docx

绝密★启用前 2023～2024学年度下学期月考考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1．在等比数列 中， ， ，则公比 （ ）． A． B． C． D． 2．在等差数列 中， ， ，则 （ ）． A．9 B．11 C．13 D．15 3．下列求导运算结果正确的是（ ）． A． B． C． D． 4．在等比数列 中， ，公比 ，则 与 的等比中项是（ ）． A．2 B．4 C． D． 5．曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则实数 （ ）． A． B． C．2 D．3 6．已知数列 满足 ， ，则数列 前2023项的积为（ ）． A．2 B．3 C． D． 7．等差数列 共 个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 （ ）． A．10 B．13 C．11 D．22 8．已知数列 满足 ，且 ，数列 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）． A． B．5 C． D． 二、多选题 9．已知数列 是公差为 d 的等差数列， 是其前 n 项的和，若 ， ，则（ ）． A． B． C． D． 10．已知等比数列 的各项均为正数， ， ，数列 的前 n 项积为 ，则（ ）． A．数列 单调递增 B．数列 单调递减 C． 的最大值为 D．． 的最小值为 11．在边长为3的正方形 ABCD 中，作它的内接正方形 EFGH ，且使得 ，再作正方形 EFGH 的内接正方形 MNPQ ，使得 ，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第 n 个正方形的边长为 （其中第1个正方形的边长为 ，第2个正方形的边长为 ，……），第 n 个直角三角形（阴影部分）的面积为 （其中第1个直角三角形 AEH 的面积为 ，第2个直角三角形 EQM 的面积为 ，……，则（ ）． A． B． C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 的前 n 项和 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12．设数列 为等比数列，其公比为 q ，已知 ， ，则 __________． 13．已知两个等差数列 和 的前 n 项和分别为 和 ，且 ，则 __________． 14．等差数列 中，已知 ，且在前 n 项和 中，仅当 时， 最大，则公差 d 的取值范围为__________． 四、解答题 15．已知 为等差数列，公差 ，且 、 、 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 n 项和为 ，证明： ． 16．已知数列 满足 ， ， ． （1）设 ，证明： 是等比数列； （2）求数列 的前 n 项和 ． 17．已知数列 的前 n 项和 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 ． 18．已知抛物线 上点 P 处的切线方程为 ． （1）求抛物线的方程； （2）设 和 为抛物线上的两个动点，其中 ，且 ，线段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 C ，求 面积的最大值． 19．若有穷数列 ， … （ n 是正整数），满足 ， ，…， ，即 （ i 是正整数，且 ），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列 是项数为8的对称数列，且 ， ， ， 成等差数列， ， ，试写出 的每一项． （2）已知 是项数为 （其中 ，且 ）的对称数列，且 ， ，…， 构成首项为15，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为 ，则当 k 为何值时， 取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数 ，试写出所有项数为 的对称数列，使得1，2， … 成为数列中的连续项；当 时，并分别求出所有对称数列的前2024项和 ． 高二数学试题参考答案 一、单选（每题5分） 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 二、多选（每题6分，漏选得3分，错选不得分） 9．ACD 10．BC 11．AC 三、填空（每题5分） 12． 13． 14． 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15．（1）依题意 ， ， 又 、 、 成等比数列， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 ． （2）由（1）可得 ， 所以 ． 16．（1）因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ，则 ， 所以 是以2为首项， 为公比的等比数列． （2）由（1）可知， ， 由于 ，所以 ， 所以 ． 17．（1）当 时， ， 当 时，由 ，得 ， 则 ， 因为 ，所以 ． （2）由（1）可知， ， 则 ， 则 ， 则 ， 所以 ． 18．（1）设点 ，由 得 ，求导得 ， ∵抛物线 上点 P 处的切线斜率为1，切线方程为 ， ∴ ，且 ，解得 ， ∴抛物线的方程为 ． （2）设线段 AB 中点 ，则 ， ， ， ∴直线 l 的方程为 ， 即 ，∴ l 过定点 ，即点 C 的坐标为 ， 联立 ， 得 ， ， 设 到 AB 的距离 ， ∴ ， 当且仅当 ，即 时取等号，∴ 的最大值为8． 19．（1）因为 ， ， ， 成等差数列， ， ， 设前4项的公差为 d ，所以 ， 所以 ， ， 又数列 是项数为8的对称数列， 所以 ， ， ， ， 所以 的项依次为1，4，7，10，10，7，4，1． （2）因为 ， … 构成首项为15，公差为 的等差数列， 所以 ， 又 ， ，…， ， 所以 ， 所以当 时 取得最大值，且 ． （3）因为1，2， ，…， 成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为 ， 所以这样的对称数列有： ①1，2， ，…， ， ， ，…， ，2，1； ② ， ，…， ，2，1，2， ，…， ， ； 因为 ， 对于①，当 时， ； 当 时， ， 所以