安徽师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期第一次测评 数学 (含参考解析)

安徽师范大学附属中学 2022 ～ 2023 学年第二学期高二年级第一次测评 数学试题 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列 中， ，公差 ，则 等于（ ）． A. B. C. 24 D. 27 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式进行求解即可 . 【详解】 因为等差数列 中， ，公差 ， 所以 ， 故选： A 2. 已知函数 ，函数 的单调递减区间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 求导 , 令 求解即可 . 【详解】 令 即 ，解得 ， 所以函数 的单调递减区间为 . 故选： A 3. 已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移 s （单位：米）与时间 t （单位：秒）之间的关系可用函数： 表示，则该物体在 秒时的瞬时速度为（ ）． A. 米 / 秒 B. 米 / 秒 C. 米 / 秒 D. 米 / 秒 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据导数的概念，直接对位移关于时间的函数求导，代入 即可 . 【详解】 由题得 ，当 时， ，故瞬时速度为 米 / 秒， 故选： B. 4. 已知等比数列 的前 项和为 ，则点列 在同一坐标平面内不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据等比数列通项公式和前 项和公式确定正确答案 . 【详解】 设等比数列 的首项为 ，公比为 ， A 选项， 时， ，图象符合 . B 选项， 时， ，图象符合 . C 选项， 时， ，图象符合 . D 选项，由图可知， 都是负数，所以 ， 但图象显示 时， 或 为正数，矛盾，所以 D 选项图象不符合 . 故选： D 5. 若函数 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可 . 【详解】 由 ， 当 时，函数 单调递增，在 时，该函数单调递减， 当 时，函数 有最大值，且 ，且函数 的对称轴为 ， 所以当 时， 有两个不同的极值点，等价于直线 与函数 有两个不同的交点，所以 ， 故选： B 6. 已知 图象上有且只有三点到直线 的距离为 ，则 a 的值为（ ）． A. 3 B. C. D. 5 【答案】 B 【解析】 【分析】 先求与直线 平行的直线与 图象相切的切点，再利用点线距离公式即可求解 . 【详解】 设与直线 平行的直线与 图象相切于点 则点 处的切线的斜率为 ， 解得 . 则 即 . 所以点 到直线 的距离 , 解得 或 , 当 时，直线 与曲线 相离，舍去 . 所以当 时， 的图像上有且只有三个点到直线 的距离为 . 故选： B 7. 已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数 a 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据题意，将零点问题转化为函数图像交点问题，画出图像 ，通过图像即可得到结果 . 【详解】 因为 有三个不等零点，得函数 与函数 有三个交点， 当 时， ，由 可得 ， 当 时，则 ，即函数 单调递减； 当 时，则 ，即函数 单调递增； 所以当 时， ， 且当 时， ; 当 时， ，由 可得 ， 当 时，则 ，即函数 单调递增； 当 时，则 ，即函数 单调递减； 且当 时， ， 当 时， 且 ，当 时， ， 画出函数 的图像，如图所示， 通过图像可得，当 时，两函数图像有三个交点， 即 有三个不等零点 . 故选 : B 8. 已知等差数列 满足 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 由条件变形，构造函数 ，结合函数的单调性，奇偶性可求得 ，然后利用等差数列的性质及求和公式求解即可 . 【详解】 ，即 ， ，即 ， 构造函数 ， ，则 在 上单调递增， ，即 是奇函数， 而 ， ， 得 ，故 ，即 ， 因为 为等差数列，所以 . 故选： D. 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）． A. 有两个极值点 B. 的极小值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 【答案】 AC 【解析】 【分析】 求出函数 的导数，再利用导数求出函数的极值判断 ABC ，取特值判断 D 作答 . 【详解】 函数 的定义域为 ，求导得 ， 由 得： 或 ，由 得： ， 因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 于是函数 在 处取极大值 ， 在 处取极小值 对于 A ，函数 有极大值点 和极小值点为 ， A 正确； 对于 B ，函数 有极小值点 ， B 错误； 对于 C ，函数 有极小值 ， C 正确； 对于 D ，显然 ， D 错误 . 故选： AC 10. 已知数列 ，满足 ， ， 为 的前 n 项和，且 ， ，则（ ）． A. 数列 为等差数列 B. C. D. 或 时， 取得最大值 【答案】 AB 【解析】 【分析】 根据等差数列 定义、结合等差数列的前 n 项和公式、通项公式逐一判断即可 . 【详解】 由 ，所以数列 为等差数列，因此选项 A 正确； 设该等差数列的公差为 ，因为 ， ， 所以有 ， ，因此选项 B 正确，选项 C 不正确； 因为 ， 所以 或 时， 取得最大值，