湖北武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含参考答案)

华中科技大学附中高二年级下学期3月月考 数学试卷 命题教师：王浩、郑小勇 审题 教师：陈禄胜 考试时间：2023年3月17日 试卷满分：150分 一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（      ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2 ．设 ， ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知 是第四象限角，且 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 7 4 ． 用 5 种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（          ）种不同的涂色方案． A ． 1140 B ． 1520 C ． 1400 D ． 1280 5 ．等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，下列选项正确的是（       ） A ． B ． C ．当 时 最小 D ． 时 的最小值为 6 ．设点 P 是函数 图象上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（       ） A ． B ． C ． D ． 7 ．已知双曲线 （ a >0 ， b >0 ）的左顶点为 A ，点 B ，直线 AB 与双曲线的两条渐近线分别交于 P ， Q 两点，若线段 PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为（      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知表面积为 100 的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（      ） A ． B ． C ． D ． 二 、 多项 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．下列结论正确的是（      ） A ．若数列 是等差数列，则 为等比数列 B ．若数列 是等比数列，则 为等差数列 C ．若数列 满足 ，则 为等比数列 D ．若数列 是等差数列， ，则 为等差数列 10 ．在正方体 中，点 在线段 上，且 ，动点 在线段 上（含端点），则下列说法正确的有（      ） A ．三棱锥 的体积为定值 B ．若直线 平面 ，则 C ．不存在点 使平面 平面 D ．存在点 使直线 与平面 所成角为 11 ．抛物线 的焦点为 F ，点 O 为坐标原点， ，过点 F 的直线与抛物线交于 P ， Q 两点，则（       ） A ． ，则 P 到 y 轴的距离为 8 B ．直线 OP ， OQ 的斜率之积恒为 -4 C ． 的最小值为 D ．若直线 l ： ，则 P 到 y 轴的距离与到直线 l 的距离之和的最小值为 12 ．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 a 可能为（       ） A ． B ． C ． D ． 三、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 用数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 可组成 __________ 个无重复数字的偶数三位数 . 1 4 ．公差不为零的等差数列 中， ，数列 是等比数列，且 ，则 等 于 ______. 15 ．已知三棱锥 的体积为 ，各顶点均在以 为直径的球面上， ，则该球的体积为 ______. 16 ．已知 ， ，若 ， ，都有 ，则 的取值范围为 ___________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ． （ 10 分） 在 △ ABC 中， ， ， 且 ，求： (1) 求 的值； (2) 求 △ ABC 的面积． 18 ． （ 12 分） 在数列 中， ，且满足 ． (1) 求 的通项公式 ； (2) 记 ，求数列 的前 项和 ． 19 ． （ 12 分） 已知函数 ． (1) 求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2) 过点 作曲线 的切线，若切线有且仅有 1 条，求实数 的值． 20 ． （ 12 分） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 PAD ， ， ， ， ， ， E 是 PD 的中点． (1) 求证： ； (2) 若点 M 在线段 PC 上，异面直线 BM 和 CE 所成角的余弦值为 ，求面 MAB 与面 PCD 夹角的余弦值． 21 ． （ 12 分） 已知点 M ， N 分别是椭圆 的右顶点与上顶点，原点 O 到直线 的距离为 ，且椭圆的离心率为 ． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 斜率不为 0 的直线经过椭圆右焦点 ，并且与椭圆交于 A ， B 两点，点 P 在椭圆上， O 为原点，若 ，求直线 的方程． 22 ． （ 12 分） 已知函数 ． （ 1 ）若函数 在 单调递减，求实数 的取值范围； （ 2 ）若 ， 是函数 的两个极值点，求证： ． 华中科技大学附中高二年级下学期 3 月月考 参 考答案 一、单选题 1. D 【分析】根据复数的四则运算，计算出 z ，再利用共轭复数的定义，得到复平面内的对应点，进而可得答案 【详解】根据题意，得 ，所以 。 所以 在复平面内对应的点为（ ， ），位于第四象限。 故选： D 2. A 【分析】由指数和对数函数的性质可得出 ，即可得出答案 【详解】 所以 故选： A 。 3.A 【分析】利用诱导公式结合同角公式求出 ta nθ ，再利用和角的正切计算作答 【详解】由 得： ，即 ，而 θ 是第四象限角， 则有 ， 所以 。 故选： A 4.D 【分析】可以任选一个环作为开始，考虑相交环之间的颜色可选的种类即可。 【详解】从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第一个圆环有 5 种选择，第二个圆