安徽名校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（A卷）(含参考答案)

2022-2023 学年度第二学期高二年级开学考 数学（ A 卷） 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分 . 满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 . 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上 . 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效 ， 在试题卷 、 草稿纸上作答无效 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 ， 为空间向量，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知点 ， 在直线 ： 上，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知两圆 和 相交于 ， 两点，则 （ ） A B. C. D. 4. 已知椭圆 的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则 的离心率等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的公比 ，且 与 的等差中项为 5 ， ，则 （ ） A B. C. D. 6. 如图，已知等腰直角三角形 斜边 的中点为 ，且 ，点 为平面 外一点，且 ， ，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线 的准线交 轴于点 ，焦点为 ，直线 过点 且与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 某高科技企业为一科技项目注入启动资金 1000 万元作为项目资金，已知每年可获利 20% ，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出 100 万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过 年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的 2 倍）的目标，则 的最小值为（ ， ）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知曲线 （ 或 ），则（ ） A. 曲线 可表示椭圆 B. 曲线 为双曲线 C. ，则曲线 的焦点坐标为 D. ，则曲线 的渐近线方程为 10. 已知等差数列 的前 项和为 , 公差为 , , , 则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知正四棱柱 的底面边长为 2 ， ，点 在棱 上，点 在棱 上，则以下说法正确的是（ ） A. 若 为 中点，存在点 ， B. 若 为 中点，存在点 ， 平面 C. 若 ， 分别为 ， 的中点，则 与平面 所成的角的余弦值为 D. 若 ， 分别为 ， 的中点，则 到平面 的距离为 12. 已知数列 ， ，满足 ， ，则以下结论正确的是（ ） A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等差数列 C. 用 集合 中元素个数，则 D. 把数列 ， 中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第 2023 项为 4025 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知 均为空间单位向量，且它们的夹角为 ，则 ______ ． 14. 已知点 ， 在曲线 图像上，且 ， 两点连线的斜率为 2 ，请写出满足条件的一组点 ______ ， ______ ． 15. 已知矩形 在平面 的同一侧，顶点 在平面上， ， ，且 ， 与平面 所成的角的大小分别为 30 °， 45 °，则矩形 与平面 所成角的正切值为 ______ ． 16. 已知函数 ，数列 的首项 ，点 在函数 图象上，若 ，则整数 _____________ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知正项等比数列 中， ， . （1） 求 ； （2） 若 ，数列 的前 项和为 ，求证： . 18. 已知直线 过点 ，且 与 轴分别交于点 ， 等腰直角三角形． （1） 求 的方程； （2） 设 为坐标原点，点 在 轴负半轴，求过 ， ， 三点的圆的一般方程． 19. 已知 ， 是椭圆 ： 的右顶点和上顶点，点 在椭圆 上，且直线 经过线段 的中点． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 经过 的右焦点 与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程． 20. 如图，在三棱柱 中， 是边长为 2 的等边三角形， ， ，平面 平面 ， 为线段 的中点． （1） 求证： ； （2） 求 与平面 所成的角的正弦值． 21. 设 为数列 的前 项和，且 ， ， 成等差数列 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 设 ，设数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 和正整数 的最大值 . 22. 已知双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 3 ，点 在 上． （1） 求 的标准方程； （2） 已知直线 过 的右焦点且与 的左，右两支分别交于 ， 两点，点 是 的平分线上一动点，且 ，求 的面积． 2022-2023 学年度第二学期高二年级开学考 数学（ A 卷） 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分 . 满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 . 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上 . 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；