陕西商洛市2024届高三下学期第三次尖子生学情诊断考试 数学（文） .docx

商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试（第三次） 数学试卷（文科） 考生注意： 1 ．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2 ．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3 ．考生作答时，请将 答案答在答题 卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答黑题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4 ．本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ． 设集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为 （ ） A ． 3 B ． 1 C ． D ． 3 ． 已知等比数列 满足 ，则数列 前 8 项的和为 （ ） A ． 254 B ． 256 C ． 510 D ． 512 4 ． 若角 的始边与 轴的 非负半轴重 合，终边经过点 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ． 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ． 已知 为偶函数，且 在 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ．在不等式组 表示的平面区域内任取一点 ，则满足 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 9 ． 已知函数 在 上有且仅有 4 个零点，则实数 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10 ．为落实党的二十大提出的 “ 加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴 ” 的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例 关于还款人的年收人 （单位：万元）的 Logistic 模型： ．已知当贷款人的年收人为 9 万元时，其实际还款比例为 ，若贷款人的年收 入 约为 5 万元，则实际还款比例约为（参考数据： ） （ ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 是自然对数的底数， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 12 ．如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且 ，以 为球心， 为半径作球，则球面与底面 的交线长度的和为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．设 ，向量 ，若 ，则 ______ ． 14 ．已知直线 与 ，若直线 与 相交于 两点，且 ，则 ______ ． 15 ．如图，已知圆锥的轴截面为等边 分别为 ， 的中点， 为底面圆周上一点，若 所成角的余弦值为 ，则 ______ ． 16 ．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点，点 满足 ，其中 为坐标原点，直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 ，记 的面积分别为 ，则 ______ ．（结果用 表示） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 ， 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 ．（本小题满分 12 分） 近日埃隆·马斯克旗下的 脑机接口 公司官宣，已经获得批准启动首次人体临床试验，我国 脑机接口 技术起步晚，发展迅猛， 2014 年，浙江大学团队在人脑内植入皮层脑电微电极，实现 “ 意念 ” 控制机械手完成高难度的 " 石头、剪刀、布 ” 手指运动，创造了当时的国内第一，达到国际同等水平，目前，较为主流的分类方式将 脑机接口 分为侵入式和非侵入式，侵入 式由于 需要道德伦理审查，目前无法大面积实验，大多数研究公司采用非侵入式，即通过外部头罩和脑电波影响大脑，主要应用于医疗行业，如戒烟未来 10 到 20 年，我国 脑机接口 产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加 一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 （单位：亿元）与研发人员增量 （人）的 10 组数据．现用模型 ① ， ② 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （ 1 ）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） （ 2 ）根据（ 1 ）中所选模型，求出 关于 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 8 亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到 1 ） 附：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ． 18 ．（本小题满分 12 分） 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）点 是线段 的中点，且 ，求 的周长． 19 ． （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， 平面 ， 平面 平面 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 为 的中点， ，求 到平面 的距离． 20 ． （本小题满分 12 分） 设函数 ． （ 1 ）若函数