湖南常德市2024届高三下学期高考模拟数学试题(含参考答案)

常德市高2024届高三高考模拟试卷 数学 注意事项： 1 ． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2 ． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 若集合 ，其中 且 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2 ． 已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ） A． B． C．1 D． 3 ． 平面向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4 ． 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ，有 ，则 （ ） A． B． C． D． 5 ． 若椭圆 的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． 或 D． 或 6 ． 我国古代数学名著《数书九章》中有 “ 天池盆测雨 ” 题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ） （注： ① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； ② 一尺等于十寸） A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸 7．已知等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 的第5项为（ ） A． B． C． 或1 D． 或1 8．如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线 的切线交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A．若 ，则 与 均为实数 B．若 与 均为实数，则 C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数 10 ． 已知非零函数 的定义域为 为奇函数，且 ，则（ ） A． B．4是函数 的一个周期 C． D． 在区间 上至少有1012个零点 11 ． 已知 ， ，其中 ，则 的取值可以是（ ） A．e B． C ． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 的展开式中常数项为 ______ ． 13．在公差为正数的等差数列 中，若 ， ， ， 成等比数列，则数列 的前10项和为 ______ ． 14 ． 已知圆 ，若对于任意的 ，存在一条直线被圆 所截得的弦长为定值 ，则 ______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ． （13分） 的内角 的对边分别为 ，满足 ． （1）求证： ； （2）求 的最小值． 16 ． （15分）如图1，菱形 的边长为 ， ，将其沿 折叠形成如图2所示的三棱锥 ． 图1 图2 （1）证明：三棱锥 中， ； （2）当点 在平面 的投影为 的重心时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 17 ． （15分）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，椭圆 上的点到 的最大距离是短半轴长的 倍，且椭圆过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 两点，直线 的倾斜角为锐角．若点 到直线 与的距离为 ，求直线 与直线 的斜率之和． 18 ． （17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用 “ 双败淘汰制 ” ，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入 “ 胜区 ” ，败者进入 “ 败区 ” ；接下来， “ 胜区 ” 的两人对阵，胜者进入最后决赛； “ 败区 ” 的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着， “ 败区 ” 的胜者和 “ 胜区 ” 的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，且不同对阵的结果相互独立． （1）若 ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ① 求甲获得第四名的概率； ② 求甲在 “ 双败淘汰制 ” 下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除 “ 双败淘汰制 ” 外，也经常采用 “ 单败淘汰制 ” ：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 19 ． （17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔 罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 连续，在开区间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得 ． （1）运用罗尔定理证明：若函数 在区间 连续，在区间 上可导，则存在 ，使得 ． （2）已知函数 ， ，若对于区间 内任意两个不相等的实数 ，都有 成立，求实数 的取值范围． （3）证明：当 ， 时，有 ． 2024数学参考答案 1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9 ． ABC 10 ． ABD 11．CD 12．16 13．165 14． 或 15．（1）由 知， 即 ， ，即 ，得证． （2）由（1）知 ， 当且仅当 时， 取最小值 16．（1） 记 的中点