大联考长郡中学
2024
届模拟试卷(一)
数
学
命题人:陈家烦
曾卫国
审题人:廖喜全
孔令然
注意事项:
1
.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2
.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3
.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1
.已知集合
,
,则
A
.
B
.
C
.
D
.
2
.已知复数
,则复数
z
在复平面内对应的点在
A
.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
3
.已知向量
,
,若
,则
A
.
B
.
1
C
.
D
.
2
4
.已知函数
,
若
在
上单调递增,则实数的范围是
A
.
B
.
C
.
D
.
5
.设集合
,现对
M
的任意一非空子集
X
,令
表示
X
中最大数与最小数之和,则所有这样的
的算术平均数为
A
.
501
B
.
500
C
.
1002
D
.
1001
6
.若直线
与曲线
相切,直线
与曲线
相切,则
的值为
A
.
1
B
.
C
.
D
.
7
.某校
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五名学生分别上台演讲,若
A
须在
B
前面出场,且都不能在第
3
号位置,则不同的出场次序有
A
.
18
种
B
.
36
种
C
.
60
种
D
.
72
种
8
.在△
ABC
中,
D
为边
BC
上一点,
,
,
,且
ADC
的面积为
,则
A
.
B
.
C
.
D
.
二、选择题(本大题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
6
分,部分选对的得部分分,有选错的得
0
分.)
9
.已知双曲线
C
:
,则
A
.
的取值范围是
B
.
C
的焦点可在
x
轴上也可在
y
轴上
C
.
C
的焦距为
6
D
.
C
的
离心率
e
的取值范围为
10
.某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了
100
名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这
100
名学生中,成绩位于
内的学生成绩方差为
12
,成绩位于
内的同学成绩方差为
10
.则
参考公式:样本划分为
2
层,各层的容量、平均数和方差分别为:
m
、
、
;
n
、
、
.记样本平均数为
,样本方差为
,
.
A
.
B
.估计该年级学生成绩的中位数约为
77
.
14
C
.估计该年级成绩在
80
分及以上的学生成绩的平均数为
87
.
50
D
.
估计该年级成绩在
80
分及以上的学生成绩的方差为
30
.
25
11
.设函数
,则以下说法中正确的是
A
.
B
.
C
.
的图象存在对称轴
D
.
的图象存在对称中心
三、填空题(本大题共
3
小题,每小题
5
分,共
15
分.)
12
.已知
,
,
,
,
成等比数列,且
2
和
8
为其中的两项,则
的最小值为
.
13
.若正四面体
ABCD
的顶点都在一个表面积为
的球面上,过点
C
且与
BD
平行的平面
分别与棱
AB
,
AD
交于点
E
,
F
,则空间四边形
BCFE
的四条边长之和的最小值为
.
14
.已知
O
为坐标原点,过
作
x
轴的垂线交直线
于点
B
,
C
满足
,过
B
作
x
轴的平行线交
E
:
于点
P
(
P
在
B
的右侧),若
,则
.
四、解答题(本大题共
5
小题,共
77
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15
.(
13
分)
记△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,已知
,
.
(
1
)若
,求△
ABC
的面积;
(
2
)若
,求
b
.
16
.(
15
分)
如图所示,圆台的上、下底面圆半径分别为
4
cm
和
6
cm
,
,
为圆台的两条不同的母线.
(
1
)求证:
;
(
2
)截面
与下底面所成的夹角大小为
60
°,且截面截得圆台上底面圆的劣弧
的长度为
,求截面
的面积.
17
.(
15
分)
面试是求职者进入职场的一个重要关口,也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工,首先要进行笔试,笔试达标者进入面试,面试环节要求应聘者回答
3
个问题,第一题考查对公司的了解,答对得
2
分,答错不得分,第二题和第三题均考查专业知识,每道题答对得
4
分,答错不得分.
(
1
)若一共有
100
人应聘,他们的笔试得分
X
服从正态分布
,规定
为达标,求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数);
(
2
)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为
,后两题答对的概率均为
,每道题是否答对互不影响,求该应聘者的面试成绩
Y
的数学期望.
附:若
(
)
,则
,
,
.
18
.(
17
分)
已知等轴双曲线(实轴与虚轴长相等)
N
的顶点分别是椭圆
C
:
的左,右焦点
,
.
(
1
)求等轴双曲线
N
的方程;
(
2
)
Q
为该双曲线
N
上异于顶点的任意一点,直线
和
与椭圆
C
的交点分别为
E
,
F
和
G
,
H
,求
的最小值.
19
.(
17
分)
已知函数
,且
与
x
轴相切于坐标原点.
(
1
)求实数
a
的值及
的最大值;
(
2
)证明:当
时,
;
(
3
)判断关于
z
的方程
实数根的个数,并证明.
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2024
届模拟试卷(一)
数学参考答案
题号
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5
6
7
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9
10
湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期一模数学试卷(含参考答案解析)试卷Word文档在线免费下载