湖南长沙市雅礼中学2024届高三下学期一模数学试卷(含参考答案)

雅礼中学2024届模拟试卷（一） 数学 命题人：陈正 审题人：薛祖山 ､陈朝阳 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名 ､考生号､考场号､座位号填写在答 题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一 ､选择题 ：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A.9 B.12 C.15 D.18 2.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸 4.已知椭圆 和抛物线 相交于 ､ 两点，直线 过抛物线的焦点 ，且 ，椭圆的离心率为 .则抛物线和椭圆的标准方程分别为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. ； 5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深 刻 的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形 ，其中 为正八边形的中心，则 （ ） A. B.1 C. D. 6.人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置， AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“ AI ”视频，“ AI ”视频占有率为0.001.某团队决定用 AI 对抗 AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有 的可能鉴定为“ AI ”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有 的可能鉴定为“ AI ”.已知某个视频被鉴定为“ AI ”，则该视频是“ AI ”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆 ： ， 是直线 ： 上一点，过 作 的两条切线，切点分别为 ､ ，连接 （ 是坐标原点），当 为直角时，直线 的斜率 （ ） A. B. C. D. 8.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二 ､多选题 ：本题共3小题，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中 ，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 . 9.设 ， 为两条不重合的直线， 为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 10.已知 ，下列判断正确的是（ ） A.若 ，且 ，则 B. 时，直线 为 图象的一条对称轴 C. 时，将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称 D.若 在 上恰有9个零点，则 的取值范围为 11.若实数 满足 ，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 三 ､填 空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 . 12.已知复数 ，其中 为虚数单位，则 __________. 13.已知数列 满足 ，则 __________. 14.设 为双曲线 的一个实轴顶点， 为 的渐近线上的两点，满足 ， ，则 的渐近线方程是 __________. 四 ､解答题 ：本题共5小题，共77分 .请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人. （1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计 （2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率. 参考公式 ， . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16.（本小题满分15分） 已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 当 时， ，求 a 的取值范围. 17.（本小题满分15分） 如图，已知在正三棱柱 中， ，且点 分别为棱 的中点. （1）过点 作三棱柱截面交 于点 ，求线段 长度； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值. 18.（本小题满分17分） 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆 的