吉林梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期4月月考试题 数学 .docx

梅河口市第五中学 2023～2024 学年度 下 学期 高 二 数 学 试 题 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部 分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页。满分 1 5 0 分，考试时间 12 0 分钟。 第 Ⅰ 卷 （选择题，共 58 分） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。 2 ． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数 在 上可导，若 ，则 （      ） A．12 B．9 C．6 D．3 2. 过函数 图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3. 在等差数列 中，若 ， ， ，则 的值为 　　 A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 4. 若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为（      ） A． B． C． D． 5. 已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，则 等于（      ） A． B． C． D． 6. 已知数列 为等差数列，其首项为 1 ，公差为 2 ，数列 为等比数列，其首项为 1 ，公比为 2 ，设 ， 为数列 的前 项和，则当 时， 的 最大值 是 　　 A ． 9 B ． 10 C ． 11 D ． 12 7. 若对任意 ，恒有 ，则实数 的最小值为（         ） A． B． C． D． 8. 设 ， 则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数 ， 是自然对数的底数，则（         ） A．若 ，则 B． C． 的最大值为 D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则 10. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点， ，则（      ） A．无论 取何值，三棱锥 的体积始终为 B．若 ，则 C．点 到平面 的距离为 D．若异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．则 11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（      ） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 C．当 时，函数 与 的图象有两个不同的公共点 D．当 时，若不等式 在 时恒成立，则 的取值范围是 第 Ⅱ 卷 （非选择题，共52分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 设函数 ，且 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程 为 ． 13. 已知点 P 是双曲线 左支上一点， 是双曲线的左右两个焦点，且 ，线段 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 . 14. 已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知函数 ． (1)求 的极值； (2)若 在区间 有2个零点，求 的取值范围． 16.（15分） 在已知数列 中， . (1)若数列 是等比数列，求常数 和数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项的和 . 17.（15分） 已知函数 ， ． (1)若函数 在 R 上单调递减，求 a 的取值范围； (2)已知 ， ， ， ，求证： ； (3)证明： ． 18.（17分） 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ，若 上的点 满足 恒成立． （1）求 的方程； （2）若过点 的直线 与 的两条渐近线交于 ， 两点，且 ． ① 证明： 与 有且仅有一个交点； ② 求 的取值范围． 19.（17分） 英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中 为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设 ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明： ； (2)设 ，证明： ； (3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围. 答案 ABBD AADC BCD AB ABD 选择题 1. ． 故选：A 2. 依题意， ，则 ， 即切线的斜率的取值范围是 ， 所以倾斜角的取值范围是 . 故选：B 3. 解：根据等差数列前 项和公式， ， 又根据等差数列的性质， ， ， ， ． ， 故选： ． 4. 因为函数 在 上存在单调递增区间， 所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立， 令 ， ， 变形得 ，因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时， ，所以 ， 故选：D． 5. 由题意，得 ，关于 x 的一元二次方程 的两根为 b ，2 b ， 又极小值点为 ，极大值点为 ，所以 ，即 ， 由韦达定理得到 ，所以 ， ，得到 ． 故选：A． 6. 解： 数列 为等差数列，其首项为1，公差为2， ． 数列 为等比数列，其首项为1，公比为2， ， ， ， 则 ， 对任意的 ， ， 数列 单调递增， 又 ， ， 当 时， ，2，3，4，5，6