厦门市2024届高中毕业班第三次质量检测
数学试题
2024.4
本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分
．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．
已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴非负半轴重合，
为其终边上一点，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．1
3．
函数
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
在菱形
中，若
，且
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
棱长为1的正方体
中，点
为
上的动点，
为底面
的中心，则
的最小值为
（
）
A．
B．
C．
D．
7．
若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．
函数
在
上单调递增，且对任意的实数
，
在
上不单调，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．双曲线
的左、右焦点分别为
，且
的两条渐近线的夹角为
，若
（
为
的离心率），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
的一条渐近线的斜率为
10．定义在
上的函数
的值域为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．
投
掷
一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量
．记
表示事件
“
”
，
表示事件
“
”
，
表示事件
“
”
，则
（ ）
A．
和
互为对立事件
B．事件
和
不互斥
C．事件
和
相互独立
D．事件
和
相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
的展开式中的常数项为
_______
．
13．某圆锥的体积为
，其侧面展开图为半圆，则该圆雉的母线长为
_______．
14．设
为数列
的前
项积，若
，其中常数
，则
_______（结果用
表示）；若数列
为等差数列，则
_______
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
中，角
的对边分别是
，且
．
（1）求
；
（2）若
面积为
，求
边上中线的长．
16．（15分）如图，在三棱柱
中，平面
平面
，
．
（1）设
为
中点，证明：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值．
17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张
Q
和4张
K
，将其中2张0和2张
K
装在一个不透明的袋中，剩余的2张0和2张
K
放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出
Q
，则把它放回袋中：若抽出
K
，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张0放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的
K
全部置换为
Q
，
（1）在操作2次后，袋中
K
的张数记为随机变量
X
，求
X
的分布列及数学期望；
（2）记事件
“
在操作
次后，恰好将袋中的
全部置换为
”
为
，记
．
（
ⅰ
）在第1次取到
的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；
（
ⅱ
）试探究
与
的递推关系，并说明理由．
18．（17分）在直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，过
的直线
与
交于
两点，且当
的斜率为1时，
．
（1）求
的方程；
（2）设
与
的准线交于点
，直线
与
交于点
（异于原点），线段
的中点为
，若
，求
面积的取值范围．
19．（17分）若实数集
对
，均有
，则称
具有Bernoulli型关系．
（1）若集合
，判断
是否具有Bernoulli型关系，并说明理由；
（2）设集合
，若
具有Bernoulli型关系，求非负实数
的取值范围；
（3）当
时，证明：
．
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