湖南长郡中学2023-2024学年高二下学期寒假检测（开学考试）数学 .docx

长郡中学2024年高二寒假作业 检测 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2 ．若 ，则 的最小值是 （ ） A．2 B． C． D．3 3 ．已知 3、4、5、7、 五个数据，均值 ，若再增加 2、8 两个数后，这七个数据的均值和方差应该是 （ ） A．5，2 B．5，3 C．5，4 D．6，2 4 ．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． ★ 5．设 ，且 ，若 能被13整除，则 的可能取值为 （ ） A．0 B．1 C．11 D．12 ★ 6．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有 （ ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若 ， ，则 到 的距离等于 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数 及其导函数 定义域均为 ，满足 ，且 为奇函数，记 ，其导函数为 ，则 （ ） A．0 B．1 C． D．2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9 ． 且 ，则实数 的值为 （ ） A． B． C． D． ★10 ．关于曲线 ，下列叙述正确的是 （ ） A．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在 轴上的椭圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在 轴上的双曲线，且焦距为4 C．当 时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当 或 时，曲线表示的图形是双曲线 11 ．下列命题中正确的是 （ ） A．若 ， ，则 B．若复数 满足 ，则 C．若复数 为纯虚数，则 D．若复数 满足 ，则 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） ★ 12．已知等差数列 中， ， ，若在数列 每相邻两项之间插 入 三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为 ______ ． 13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262 ～ 公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点 ，， ，动点 满足 ，则点 的轨迹与圆 的公切线的条数为 ______ ． 14．已知函数 若方程 恰有四个不同的实数解，分别记为 ，则 的取值范围是 ______ ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 ） 15．（本题满分13分） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 16 ．（本题满分15分） 如图，在四棱 锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ， 为 的中点． （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的平面角的正弦值． 17．（本题满分15分） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求证： ． 18 ．（本题满分17分） 设 分别是双曲线 的左、右两焦点，过点 的直线 与 的右支交于 ， 两点， 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 ． （1）求双曲线 的方程． （2）当 时，求实数 的值； （3）设点 关于坐标原点 的对称点为 ，当 时，求 面积 的值． 19 ．（本题满分17分） 某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推 出“玩游戏，送礼券”的活动 ，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束；否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是 ，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是 ，若上一次失败则下一次成功的概率是 ．记消费者甲 第一 次获胜的概率为 ，数列 的前 项和 ，且 的实际意义为前 次游戏中平均获胜的次数． （1）求消费者甲第2次获胜的概率 ； （2）证明： 为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 长郡中学2024年高二寒假作业检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D D B B D ACD AD AD 一、二、选择题 1 ．B 【解析】 ， ， ，故选B． 2 ．D 【解析】由题意，得 ，当且仅当 时，取等号，故 的最小值为3．故选D． 3．C 【解析】因为 3、4、5、7、 五个数据，均值 ，所以 ，故 ，则七个数据的均值为 ，七个数据的方差为 ．故选C． 4 ．D 【解析】设 ，则 ， ，从而 ．故选D． 5 ．D 【解析】当能被13整除时， ， 能被13整除，且 能被13整除， 也能被13整除，因此能被整除时 可取值12，故选D． 6 ．B 【解析】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座． 要求每人左右均有空座， 在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有 种坐法．故选B． 7 ．B 【解析】取 的中点 ，连结 ．过 作 于点 ，则 ， 又因为 ，所以 ，所以 ． 依题意 ，所以 为等边三角形．由抛物线的定义，得 ，所以 ． 所以 ，所以 ．即 到 的距离为2．故选 B ． 8．D 【解析】因为 ， 两边同时求导可得： ，即 ， 关于 对称，同时 ，则 关于 对称． 为奇函数，则 ，即 ， 关于 对称，同时 ，