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2024 年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试
高二数学
参考答案及评分标准
一、 单项选择题
CBDD DAB A
二、多项选择题
9.ACD 10. AC 11.B CD 12. AC
三、填空题
13. 42 14. (-1,15) 15. 4 3
3 16. 25-2 13
四、解答题
17. （本小题满分 10 分）
(1) 由已知 得： …………………………………… 2分
解得 : ………………………………………………………………………… 4分
(2) 由第一问可知 (2x-1) 8=a0+a 1x+a 2x2+… +a 8x8,
易知 a1， a3， a5， a7，均为负值
所以， |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+… +|a8|=a0-a1+a2-a3+… +a 8………………………………………… 6分
于是，令 x=0 则 0 1 a ，
令 x= -1 则 8 01238 3 aaaaa …………………………………………… 8分
所以 12378aaaaa = 831 =6560 ………………………………………… 10 分
18. （本小题满分 12 分）
（ 1）若选择 ① ：
由法向量（ -3,1 ）可得直线 的一个方向向量（ 1,3 ）可得 k=3 …………………… 2分
于是 4(3) ykx ， 代入并 整理得 350xy
综上直线方程为 350xy …………………………………………………………… 4分
若选择 ②
与直线 3x-y+5=0 平行可设直线方程为 30,5xycc{#{QQABQYSEogCIABBAABhCEQF4CkGQkAECCIoGgFAAoAAAQQNABCA=}#}
将（ 3,4 ）代入，则有 50 c 解得 5 c ……………………………………………… 2分
整理得 350xy
综上直线方程为 350xy ……………………………………………………………… 4分
若选择 ③
与直线 x+3y+5=0 垂直可设直线方程为 30,5xycc
将（ 3,4 ）代入，则有 50 c 解得 5 c ……………………………………………… 2分
整理得 350xy
综上直线方程为 350xy ……………………………………………………………… 4
（ 2）由题意，圆的方程为
2 2 4) ( 3) 5 x y （ ，
可得圆心为 4, 3) （ 半径为 5 r ………………………………………………………… 6分
2 APBC PAC S S AC AP ……………………………………………………………… 8分
5 AC r 2 5 AP AC ……………………………………………………… 10 分
可知当 PCl 时， 2
min min 5 5 AP AC
此时 △ PACB 面积的最小值为 2 5 APBC PAC S S AC AP ………………………… 12 分
19. （本小题满分 12 分）
(1) 证明：取 BC 的中点 E,连接 ?????? ,???1???,???1???，
∵ AB ＝ AC ， E为 BC 中点．
∴ AE ⊥ BC ， ………………………………………………………………………………… 2分
又 ∵ AA 1＝ AB ＝ AC ， ∠ A1AB ＝ ∠ A1AC ＝ ???
3，
∴△ A1CA 与 △ A1BA 均为等边三角形，
∴ A1C＝ A1B， ……………………………………………………………………………… 4分
∴ A1E⊥ BC ， A1E∩AE ＝ E，
∴ BC ⊥ 平面 AA 1E，
∵ AA 1⊂ 平面 AA 1E，
∴ BC ⊥ AA 1． ……………………………………………………………………………… 6分{#{QQABQYSEogCIABBAABhCEQF4CkGQkAECCIoGgFAAoAAAQQNABCA=}#}
（ 2）解：设 AA 1＝ AB ＝ AC ＝ 2，
∴ ?????? =2 2，
∵ ?????? = ???1???= 2， AA 1＝ 2，
∴ AE 2+A1E2＝ 4＝ AA 12，
∴ AE ⊥ A1E，
又 ∵ A1E⊥ BC ， AE ∩BC ＝ E，
∴ A1E⊥ 平面 ABC ， …………………………………………………………………… 8分
以 E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
???( 2， 0， 0) ， ???1(0 ， 0， 2)， ???(0 ， 2， 0) ， E（ 0， 0， 0），
∵ F为 B1C1中点，
∴ ??????→ = ???1???→ ， ∴ ???(− 2， 0， 2)，
∴ ???1???→ =(0 ， 2， − 2)， ???1???→ =( − 2， 0， 0) ，
设平面 A1CF 的一个法向量分别为 ???1→ =( ???1， ???1， ???1)，
则 2???1− 2???1=0
− 2???1=0 ，令 y1＝ 1，解得 x1＝ 0， z1＝ 1，
故 ???1→ =（ 0， 1， 1）， ?????? =( − 2, 2,0) ……………………………………………… 10 分
设 ?????? 与平面 ???1C成角为 θ，
则 sin ???= cos < ?????? ,???1 > |??????→⋅???1→|
|???1→||??????→|= 2
22= 1
2，
∴ ?????? 与平面 ???1C成角 正弦值为 1
2………………………………………………………… 12 分
20. （本小题满分 12 分）
（ 1）由题意知 2 1 2 B B 则 b=1 ； 由 2 1 2 FB 则 a=2 …………………………… 2分
故椭圆 C的标准方程为
2 2 1 4
x y ； ……………………………………………………… 4分
（ 2）由题意可知直线 MN 的斜率存在且不为 0，设其方程为 2 ykx ，
联立 2 2
2
1 4
y kx
x y
，得 22 1416120 kxkx ，
由 2 2 2 16 4 1 4 12 16 4 3 0 k k k ，得 2 3
4 k ； …………………… 6分{#{QQABQYSEogCIABBAABhCEQF4CkGQkAECCIoGgFAAoAAAQQNABCA=}#}
设 1 1 2 2 , , , M x y N x y ，则 1212 22
1612 , 1414
k xxxx kk ， …………………… 8分
则
2 2 12121212 2
44 2224 14
k yykxkxkxxkxx k
，
因为 0 OM ON ，所以 2 2
1212 222
44 1244 0 141414
k k xxyy kkk
…………… 10 分
即 22 3 44 4 , kk ，则 2
3 22 2
3 k
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