安徽黄山市屯溪第一中学2024届高三6月仿真模拟卷数学(含参考解析)

安徽省黄山市屯溪第一中学 2024 届高三 6 月仿真模拟卷（实验班用） 第 Ⅰ 卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 请在答题卷的相应区域答题 . ） 1. 是虚数单位，若复数 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用复数的几何意义即可 . 【详解】 在复平面内，若复数 满足 ， 则复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心，半径为 2 的圆， 几何意义是点 到原点的距离， ， 所以 的取值范围是 . 故选： A. 2. 已知集合 ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 分别解集合 , 再用集合的交集运算即可得出答案 【详解】 集合 ,解得 , ,即 ,解得 , 故 , 所以 故选： C 3. 为庆祝广益中学建校 130 周年，高二年级派出甲 ､ 乙 ､ 丙 ､ 丁 ､ 戊 5 名老师参加 “130 周年办学成果展 ” 活动，活动结束后 5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种 . A. 40 B. 24 C. 20 D. 12 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解 . 【详解】 由题意得， 5 名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 先令丙、丁两人相邻用捆绑法 ，再把丙、丁与戊排列在一起 ，最后插空令甲、乙两人不相邻 , 则不同的排法共有 种 . 故选： . 4. 已知 ，则下列描述正确的是 （ ） A. B. 除以 5 所得的余数是 1 C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案 . 【详解】 对于 A ：令 得： ；令 ，得 ． ，因此 A 错误； 对于 B ： ，因此 B 正确 对于 C ：因为 二项展开式的通项公式为 ， 由通项公式知， 二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以 ， 由 ，令 ，得到 ， 令 ，得到 ， 所以 ，因此 C 错误 对于 D ：对原表达式的两边同时对 求导， 得到 ， 令 ，得到 ，令 ，得 所以， 所以选项 D 错误． 故选： B 5. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前 4 个，现有如下说法： ① 第 9 个五角形数比第 8 个五角形数多 25 ； ② 前 8 个五角形数之和为 288 ； ③ 记所有的五角形数从小到大构成数列 ，则 的前 20 项和为 610 ；则正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】 【分析】 先根据图形找到规律，得到数列 的递推关系 ，然后用累加法可得 ，然后可判断 ①②③. 【详解】 根据图形知： ， ， 则 ， ① 正确； ， ② 正确； ，数列 是首项为 1 公差为 的等差数列， 前 20 项和为 ， ③ 错误 . 故选： C. 6. 若 ， 是两个互相垂直的单位向量，且向量 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】 A 【解析】 【分析】 取 ，引入向量坐标后处理表达式，找出向量 满足的关系，最后用模长公式结合二次函数的性质求 的范围 【详解】 根据 垂直可得 ，不妨取 ，设 ， 于是 ， ，并取 ，注意到 . 于是 . 故 点在线段 上运动，由直线的截距式方程可得，直线 方程为： ，即 ， 设 ， ，则 ， ，故 ， 设 ， ，则 ； 由 ， ，于是 时， ， 于是 . 故选： A 7. 图为世界名画《蒙娜丽莎》 . 假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为 的圆 的一段圆弧 ，且弧 所对的圆周角为 . 设圆 的圆心 在点 与弧 中点的连线所在直线上 . 若存在圆 满足：弧 上存在四点满足过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切，则弧 上的点与圆 上的点的最短距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 先根据题意画出相应的图，弧 上的点与圆 上的点的最短距离即为圆心距减去两圆半径，找出圆心距的最大值即可. 【详解】 如图，弧 的中点为 ， 弧 所对的圆周角为 ，则弧 所对的圆心角为 ， 圆 的半径为 ， 在弧 上取两点 、 ，则 ， 分别过点 、 作圆 的切线，并交直线 于点 ， 当过点 、 切线刚好是圆 与圆 的外公切线时，劣弧 上一定还存在点 、 ，使过点 、 的切线为两圆的内公切线， 则圆 的圆心 只能在线段 上，且不包括端点， 过点 ，分别向 、 作垂线，垂足为 、 ， 则 即为圆 的半径， 此时圆 与圆 皆满足题意：弧 上存在四点 、 、 、 ，过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切 . 线段 交圆 于点 ， 则弧 上的点与圆 上的点的最短距离即为线段 的长度 . 在直角 中， ， ， 即弧 上的点与圆 上的点的最短距离 的取值范围为 . 故选： . 8. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 作出函数 与函数 的图像，讨论曲线 与曲线 ， 相切以及过点 的情况，求出对应的实数 的值，利用数形结合思想可求得 的取值范围 . 【