福建厦门双十中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题.docx

2023级高一数学必修第二册第一次阶段性练 考试时间：120分钟满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名 ､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效， 4.考试结束后，将答题卡交回. 一 ､单项选择题 （本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.已知 ，则 等于（ ） A.10 B.-10 C.3 D.-3 2.若复数 满足 ，则 （ ） A.-2 B.0 C. D.2 3，下列结论正确的是（ ） A.用一个平面去截一个圆台，得到的图形可能是平行四边形 B.有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 4.在 中角 所对边 满足 ，则 （ ） A.4 B.5. C.6 D.6或 5.在平行四边形 中， ，则 （ ） A.-12 B.-8 C.8 D.12 6.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的 是边 上一点， ，要求分别把 的内切圆 裁去，则裁去的圆 的周长为（ ） A. B. C. D. 7.已知 是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8.已知向量 满足： 为单位向量，且 和 相互垂直，又对任意 不等式 恒成立，若 ，则 的最小值为（ ） A.1 B. C. D. 二 ､多选题 ：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知 是两个互相垂直的单位向量， ，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 与 的夹角为 10.设复数 ，则以下结论正确的是（ ）. A. B. C. 是方程 的根 D. 11.已知锐角 三个内角 的对应边分别为 ，且 .则下列结论正确的是（ ） A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为 C. 的值可能为3 D. 的 最 小值为 三 ､填空题 ：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设 为复数，若 ，则 的最大值为__________. 13.已知 为单位向量，且 ，则 在 上的投影向量为__________（用 或 表示） 14.已知在 所在平面内， 分别为线段 的中点，直线 与 相交于点 ，若 ，则 的最大值为__________. 四 ､解答题 ：共77分.解答应写出文字说明 ､证明过程或演算 步骤. 15.（本小题满分13分） 已知 ，当 为何值时： （1） 与 共线； （2） 与 的夹角为 . 16.（本小题满分15分） 已知 的内角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长和外接圆的面积； （3）若 ，求 的值. 17.（本小题满分15分） 已知 的内角 所对的边分别为 ，且 . （1）求 的大小； （2） 为 内一点， 的延记线交 于点 ， _ _________，求 的面积. 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题. ① 为 的外心， ； ② 为 的内心， ； ③ 为 的重心， . 18.（本小题满分17分） 为改进城市旅游景观面貌 ､提高市民的生活幸福指数 ，城建部门拟在以水源 为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园.如图：四边形 内接于圆 为动物园区， 为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源 必须在植物园区 的内部或边界上）.又根据规划已知 千米， 千米. （1）若 ，且 ，求边 的长？ （2）若 千米，求该动植物园区面积的最小值？ 19.（本小题满分17分） 在 中， 对应的边分别为 （1）求 ； （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 ､柯西积分公式 .其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ① 用向量证明二维柯西不等式： ② 已知三维分式型柯西不等式： ，当且仅当 时等号成立.若 是 内一点，过 作 垂线，垂足分别为 ，求 的最小值. 2023级高一数学必修第二册第一次阶段性训练-参考答案 1-8BDCCACBD 9.BD 10.ABD 11.BC 12.3 13. 14. 8.【详解】 和 相互垂直，则 ，则 ，结合图象， ，则 ，因为 恒 成立，则 ，即 ，则 ， 法1： 对称轴 时： ，即 法2： ，因为 ，所以向量 的终点 共线（起点重合），则 的面积 ，所以 . 11.【解析】因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，同理可得 .由正弦定理 得 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ；所以 ，因为 ，所以 ，所以 . A 选项， ， A 错误； 选项，由余弦定理得 ，即 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 正确； 选项，由射影定理得 .正确； D 选项， 当且仅当 时取等号，但 ，而 ，所以 ，故 ，等号取不