绝密
★
考试结束前
2023学年第二学期衢温
“
5+1
”
联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知:
1.本卷共8页满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.
4.考试结束后,只需上交答题纸.
选择题部分(共58分)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
,若
,则实数
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
2.
已知复数
,则
的虚部为
( )
A.
B.
C.2
D.
3
.如图所示,已知正方形
的边长为1,它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图,则其原图形的周长为
( )
A.4
B.8
C.
D.
4.“
”
是
“
”
的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在同一直角坐标系中,函数
且
的图像可能是
( )
A.
B.
C.
D.
6.已知向量
满足
,且
,则
在
上的投影向量为
( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数
为偶函数,对任意的
,满足
,记
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
8.
已知函数
,若方程
的所有实根之和为4,则实数
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数
满足
为
的共轭复数,则
( )
A.
B.
C.
D.
10.已知实数
,且
,则
( )
A.
B.
C.
D.
11.设
为正实数,定义在
上的函数
满足
,且对任意的
,都有
则成立,则
( )
A.
或
B.
关于直线
对称
C.
为奇函数
D.
非选择题部分(共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在
中,角
所对边分别是
,若
,则
________
.
13.已知点
在以点
为圆心的圆上,且
,则
的最大值是________
.
14.在正方体
中,
为棱
的中点,
分别为
上的动点,则
的最小值为________
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数
.
(1)求函数
的单调增区间;
(2)将函数
的图像向左平移
个单位长度,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到函数
的图像,求函数
在
上的值域.
16.(本小题满分15分)
在
中,角
所对边分别是
,且
.
(1)求
;
(2)若
,求
的值及
边上的高
.
17.(本小题满分15分)
已知
.
(1)求
的值;
(2)求向量
与
夹角的余弦值;
(3)求
的最小值.
18.(本小题满分17分)
已知圆锥
的底面半径
,高
.
(1)求圆锥
侧面展开图圆心角
(用弧度表示);
(2)球
在圆锥
内,圆锥
在球
内,
(
ⅰ
)求球
的表面积的最大值;
(
ⅱ
)求球
与球
体积之比的最小值.
19.(本小题满分17分)
设
是定义在区间
上的函数,如果对任意的
,有
,则称
为区间
上的下凸函数;如果有
,则称
为区间
上的上凸函数.于是根据定义若
为区间
上的下凸函数,则对任意的
,有
;若
为区间
上的上凸函数,则对任意的
,有
.
(1)已知函数
,
求证:(
ⅰ
)
;
(
ⅱ
)函数
为下凸函数;
参考公式:
(2)已知函数
,其中实数
,且函数
在区间
内为上凸函数,求
的取值范围.
2023学年第二学期衢温
“
5+1
”
联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
A
D
A
B
C
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.
13.
14.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.解:(1)由题意得
令
则
函数
的单调增区间为
(2)
则
则
16.解:(1)法一:
因为
,所以
法二:
在
中
,所以
因为
,所以
(2)因为
,则
由于
,则
则
所以
.
则
(其它方法请酌情给分)
17.解:(1)
(2)
(3)法一:记
,
则
根据余弦定理得
则
,即
则
所以
最小值为
(言之有理即可)
法二:
当
时,
取得最小值
18.解:(1)记圆锥
的母线长为
则
则
(2)(
ⅰ
)当球
的表面积最大时,此时球
为圆锥
的内切球
记球
的最大半径为
,如图画出截面图,则
所以
.
所以球
的表面积
的最大值为
(
ⅱ
)球
与球
体积之比最小,即球
体积最小,球
体积最大
如图所示,以
为直径的球可以包含圆锥
,且此时为能包含圆锥
的最小球,
记球
的最小半径为
,则
法一:则球
的最小体积为
由(
ⅰ
)球
的最大体积为
.
所以球
与球
体积之比的最小值为
法二:
所以球
与球
体积之比的最小值为
19.解:(1)(
ⅰ
)
则
(
ⅱ
)令
,则
所以
,即函数
为
浙江省衢温“5 1”联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题 .docx