黑龙江哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学.docx

哈尔滨市第九中学 2023-2024 学年度下学期 4 月份月考高一学年数学学科试卷 注意事项： 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上 . 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 ( ， 是虚数单位 ) ，则 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知 与 为非零向量， ，若 三点共线，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在 中，其内角 对边分别为 ，若 ，则 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 圣 · 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣 · 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 ，在它们之间的地面上的点 （ 三点共线）处测得建筑物顶 、教堂顶 的仰角分别是 和 ，在建筑物顶 处测得教堂顶 的仰角为 ，则可估算圣索菲亚教堂的高度 约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知边长为 2 菱形 中， ，点 为 上一动点，点 满足 ，则 的最大值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 8. 在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为 的面积，且 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 已知向量 ， ， 是与 同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共线 B. 单位向量 C. 向量 在向量 上的投影向量为 D. 若 ，则 10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了 “ 三斜求积术 ” ，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即 （ 为三角形的面积， 、 、 为三角形的三边）．现有 满足 ，且 的面积 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的三个内角满足 C. 的外接圆半径为 D. 的中线 的长为 11. 已知 ， ， 是互不相等的非零向量，其中 ， 是互相垂直的单位向量， ，记 ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 O ， A ， B ， C 四点在同一个圆上 B. 若 ，则 的最大值为 2 C. 若 ，则 的最大值为 D. 若 ，则 最小值为 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 设 是虚数单位，若复数 的实部与虚部互为相反数，则实数 ________ ． 13. 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 ，当 时， 的最大值是 ______ ． 14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知 两点间的距离为 2 ，点 为 上的一点，则 的最小值为 ______ ． 四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 已知向量 是同一平面内的三个向量，其中 ． （1） 若 ，且 ，求向量 的坐标； （2） 若 是单位向量，且 ，求 与 的夹角 . 16. 已知 的内角 的对边分别为 ，满足 ． （1） 求角 的大小； （2） 若 的面积为 ，求 的周长和外接圆的面积． 17. 在 中，角 对边分别为 ，且 ． （1） 证明： 为直角三角形； （2） 当 时，求 周长的最大值． 18. 如图 , 在 中 , 的平分线交 边于点 , 点 在 边上 , , , . （1） 求 大小 ; （2） 若 , 求 的面积 . 19. 如图，在 中，已知 边上的中点为 边上的中点为 相交于点 ． （1） 求 ； （2） 求 与 夹角的余弦值； （3） 过点 作直线交边 于点 ，求该直线将 成的上下两部分图形的面积之比的最小值． 哈尔滨市第九中学 2023-2024 学年度下学期 4 月份月考高一学年数学学科试卷 注意事项： 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写在答题卡上 . 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 ( ， 是虚数单位 ) ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据复数相等的条件，求得 的值，即可求解 . 【详解】 因为 ，即 ，所以 ， 所以 . 故选： B. 2. 已知 中，内角 所对的边分别为 ，若